- •Тема 3. Приложение производной для исследования и построения графиков функций.
- •1. Возрастающая и убывающая функции. Достаточный и необходимый признаки.
- •2. Экстремум. Необходимый и достаточные признаки существования экстремума.
- •3. Выпуклость и вогнутость графиков функции. Достаточный признак существования точек перегиба.
- •4. Асимптоты графиков (вертикальные, горизонтальные, наклонные).
- •Тема 4. Интегрирование
- •1. Первообразная. Теорема о двух первообразных. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •2. Элементарные преобразования и вывод всех табличных первообразных.
- •3. Правило интегрирования по частям. Замена переменной интегрирования.
- •4. Интегрирование рациональных дробей, иррациональных выражений, тригонометрических функций. Тригонометрические замены.
- •5. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •6. Производная от интеграла с переменной границей.
- •7. Несобственный интеграл 1 и 2 типов. Признаки сходимости.
- •8. Вычисление объемов, площадей, длин дуг и поверхностей вращения.
- •9. Функции нескольких переменных.
Тема 4. Интегрирование
1. Первообразная. Теорема о двух первообразных. Неопределенный интеграл и его свойства.
Функция F(x) называется первообразной функции ƒ(х) на интервале (а; b), если для любого х є (а;b) выполняется равенство
F'(x)=ƒ(x) (или dF(x)=ƒ(x)dx).
Теорема . Если и — две первообразные для функции f (х) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.
Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F (х) данной функции f (х), то все множество первообразных для f (х) исчерпывается функциями F (х) + С. Выражение F (х) + С, где F (х) — первообразная функции f (х) и С — произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается символом , причем f (х) называется подынтегральной функцией ; — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования; ∫ — знак неопределенного интеграла. Таким образом, по определению если . Возникает вопрос: для всякой ли функции f (х) существует первообразная, а значит, и неопределенный интеграл? Теорема 2. Если функция f (х) непрерывна на [a ; b], то на этом отрезке для функции f (х) существует первообразная.
2. Элементарные преобразования и вывод всех табличных первообразных.
????????????????????????????????????????????????????????????????????
3. Правило интегрирования по частям. Замена переменной интегрирования.
Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке
[a;b], то имеет место формула
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
Теорема 39.1. Если:
1) функция х= ɣ(t) и ее производная х' = ɣ'(t) непрерывны при t ϵ [α;β];
2) множеством значений функции х= ɣ(t) при t ϵ [α;β] является отрезок [a;b];
3) ɣ(а) = а и ɣ(β) =b,
то
- формула замены переменной в определенном интеграле.
4. Интегрирование рациональных дробей, иррациональных выражений, тригонометрических функций. Тригонометрические замены.
Всякую неправильную рациональную дробь Р(х)/Q(x) можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби.
Правило интегрирования рациональных дробей:
1) если рациональная дробь является неправильной нужно представить ее в виде полинома и правильной дроби.
2) представить знаменатель в виде произведения сомножителей в скобках имеющ. Степень не больше 2.
3) правильную дробь с полученным знаменателем представить в виде суммы простых дробей.
4) берем интеграл от полинома если он получ. И суммы простых дробей.
Вычисление неопределенных интегралов типа R(sinX, cosX) dx сводиться к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой tg(x/2)=t, которая называется универсальной.
Стр 248
Где R1(t) - рациональная функция от t.
Правила:
1)если функция R(sin x, cos x) нечетная относительно sin x , т.е. R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x) , то подстановка xos x = t рационализирует интеграл.
2) если функция R(sin x, cos x) нечетная относительно cos x, R(sin x,- cos x)= -R(sin x, cos x), то делается подстановка sin x=t.
3) если функция R(sin x, cos x) четная относительно cos x, и sin x R(-sin x, -cos x)= R(sin x, cos x), то интеграл рационализируется подстановкой tgX=t. такая подстановка применяется, если интеграл имеет вид R(tgX)dx.