Вариант 12

Часть 2

C1 А :: Решите уравнение  .  Б :: Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [1.5π ; 3π] . 

C2 В прямой шестиугольной призме   все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки B до плоскости   . 

C3 Решите систему неравенств  . 

C4 Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в трегольник BMC. 

C5 Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции   на множестве   не меньше 6. 

C6 Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9  по одному записывают на карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

А :: Может ли в результате получиться 0?

Б :: Может ли в результате получиться 1?

В :: Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? 

Вариант 3

C1 А :: Решите уравнение  .  Б :: Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π ; 3.5π] . 

Решение 

А :: Избавимся от логарифма, учитывая его область определения: 

 

 

 

 

Применим формулу синуса двойного угла: 

 

Разложим левую часть уравнения на множители: 

 

Получим совокупность элементарных тригонометрических уравнений: 

 

Б :: Учтём наложенные ограничения: 

 

 

 

Ответ 

А ::       Б ::    

Проверка 

 

 

Часть 2 вариант :: 3

C2 В прямоугольном параллелепипеде   . Найдите угол между прямой   и плоскостью   . 

Решение 

 

Даны измерения прямоугольного параллелепипеда: 

 

 

 

Сечением прямоугольного параллелепипеда   плоскостью   будет прямоугольник  . 

  - квадрат (т.к. b = c), поэтому    

  - прямоугольный. 

Искомый угол α - между прямой   и её проекций AH на плоскость  ⇒ 

 

 

 =    ⇒ 

 

Ответ 

 

Вариант 3

C3 Решите систему неравенств  . 

Решение 

 

1 :: Решим первое неравенство заменой: 

 

 

Применим теорему о знаке квадратичной функции: 

 

 

2 :: Пусть    . При таком условии исходная система равносильна 

 

 

3 :: Пусть    . При таком условии исходная система равносильна 

    

4 :: Объединим решения 

Ответ 

 

Проверка 

 

 

 

Часть 2 вариант :: 3

C4 Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 7 и 24 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12.5, средняя линия трапеции равна 27.5. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC. 

Решение 

 

Решим задачу в общем виде, что далеко не обязательно для абитуриентов. 

Случай 1

Дана трапеция ABCD (BC ║ AD).  Отрезок LP, соединяющий середины диагоналей трапеции, принадлежит её средней линии KN. 

Пусть   

 

Кроме того, введём обозначения: 

 

  (как средние линии треугольников с общим основанием BC). 

1 ::    

 =   

2 :: Из свойства средней линии вытекает: 

 

 =   

3 :: Из подобия треугольников BMC  и AMD  имеем: 

 

 =   

 =   

4 :: Полупериметр треугольника BMC: 

 

 =   

Площадь этого треугольника по формуле Герона: 

 

 

 

 =   

Наконец, радиус вписанной в треугольник BMC окружности: 

 

 =