Глава 4. Линейные операторы

§ 1. Понятие отображения………………………………………………….74

§2. Определение линейного оператора и его простейшие свойства…….76

§ 3. Матрица линейного оператора………………………………………..79

§4. Геометрический смысл определителя матрицы линейного опера-

тора ………………………………………………………………...83

§ 5. Операции над линейными операторами…………………...…………84

§ 6. Невырожденные линейные операторы……………………...………..85

§ 7. Обратный линейный оператор...............................................................86

§ 8. Изоморфизм линейных пространств.....................................................87

§ 9. Образ и ядро линейного оператора.......................................................88

§ 10. Теорема о ранге произведения линейных операторов......................90

§ 11. Линейные формы...................................................................................91

§ 12. Собственные векторы линейного оператора......................................92

§ 13. Правило нахождения собственных векторов.....................................95

§14. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду..................98

§ 15. Присоединенные векторы линейного оператора.............................102

§ 16. Жорданова нормальная форма матрицы...........................................104

Глава 5. Билинейные и квадратичные формы

§ 1. Билинейные формы...............................................................................109

§ 2. Квадратичные формы...........................................................................112

§ 3 Канонический вид квадратичной формы.............................................116

§ 4. Знакоопределенные квадратичные формы.........................................118

§ 5. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм..120

Глава 6. Евклидовы пространства

§ 1. Действительные евклидовы пространства.........................................124

§ 2. Комплексные евклидовы (унитарные) пространства........................125

§ 3. Некоторые свойства скалярного произведения.................................127

§ 4. Ортогональные системы векторов.......................................................128

§ 5. Процесс ортогонализации Шмидта.....................................................129

§ 6. Выражение скалярного произведения через координаты перемно-

жаемых векторов...................................................................................131

§ 7. Некоторые свойства матрицы Грама...................................................133

§ 8. Разложение евклидового пространства в прямую сумму подпро-

странств..................................................................................................134

§ 9. Изоморфизм евклидовых пространств................................................135

Глава 7. Линейные операторы в евклидовом пространстве

§1. Некоторые сведения о матрицах...........................................................136

§2. Сопряженный линейный оператор.......................................................137

§3. Самосопряженные линейные операторы.............................................139

§4. Приведение уравнений кривых и поверхностей второго

порядка к каноническому виду.............................................................141

§5. Изометрии...............................................................................................148

§ 6. Классификация линейных операторов на евклидовой плоскости

и в трехмерном евклидовом пространстве.........................................150

§ 7. Одновременное приведение к каноническому виду пары квадра-

тичных форм..........................................................................................157

ГЛАВА 8. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Общее определения тензора................................................................161

§ 2. Алгебраические операции над тензорами..........................................163

§ 3. Тензоры в евклидовом пространстве. Взаимные базисы..................168

ГЛАВА 9. ГРУППЫ

§1. Основные определения и примеры.......................................................172

§2. Группа Лоренца......................................................................................174

ЛИТЕРАТУРА..............................................................................................176

ГЛАВА 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

§ 1. Матрицы и линейные операции над ними

Основные определения

Матрицей размеров (читается m на n) называется числовая таблица, имеющая m строк и n столбцов.

Матрицу сокращенно обозначают одной большой буквой латинского алфавита, например A. Чтобы подчеркнуть ее размеры, их будем записывать нижними индексами, например, матрицу А размеров запишем так: . Элементы матрицы обозначаются той же буквой латинского алфавита, что и сама матрица, но малой, и снабжаются двумя нижними индексами, первый из которых обозначает номер строки, а второй – номер столбца. Так, обозначает элемент матрицы А, расположенный в i-й строке j-м столбце. Но запись (т. е. в круглых скобках) – это сокращенная запись всей матрицы А, т. е. (читать можно так: матрица А с элементами ).

Если нужно указать размеры матрицы, это можно сделать, например, таким образом: = , либо так: (читается: i меняется от 1 до m, j меняется от 1 до n).

В развернутом виде матрица записывается, согласно определению, как числовая таблица, при этом с обеих сторон она ограничивается либо круглыми скобками, либо квадратными, либо двумя вертикальными чертами, например:

.

Матрица А имеет размеры , B – , a C – .

Матрица называется нулевой и обозначается O, если все ее элементы равны нулю. Для каждых размеров есть своя нулевая матрица.

Если m = n, то матрица называется квадратной, а число n называется ее порядком (говорят: квадратная матрица А n-го порядка). Элементы квадратной матрицы образуют ее главную диагональ и называются диагональными.

Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю ( при ), а отличными от нуля могут быть только диагональные элементы (среди них могут быть и нули), то такая матрица называется диагональной. Примером диагональной является квадратная нулевая матрица. Среди диагональных матриц выделяют матрицу Е, все диагональные элементы которой равны 1, и называют эту матрицу единичной, так как во множестве матриц она играет такую же роль, как и единица во множестве чисел. Единичная матрица выглядит так:

.

Если обозначить элементы единичной матрицы , то

.

Символ δ, снабжённый двумя индексами, верхними или нижними , равный 1, когда индексы совпадают, и 0, когда они разные, широко применяется как в математике, так и в физике, и называется символом Кронекера. Таким образом, элементы единичной матрицы совпадают с соответствующими символами Кронекера.

Квадратная матрица называется верхней треугольной, если при , нижней треугольной, если при . Неквадратная матрица при n > m называется трапециевидной, если при i > j. Например, А – верхняя треугольная, В – нижняя треугольная, С – трапециевидная матрицы:

;

Матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы совпадают.