Решение уравнений мкэ

Общая система уравнений равновесия (5), полученная методом конечных элементов для статической линейно-упругой модели тела, является, с математической точки зрения, системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). После учета правильно наложенных связей, не допускающих движения модели как абсолютно твердого тела, определитель матрицы жесткости [К] не равен нулю и, следовательно, существует единственное решение - общий вектор узловых перемещений {U}.

Точность и эффективность различных способов решения СЛАУ (5) во многом зависит от структуры и свойств матрицы [К]: размера, обусловленности, симметричности, заполненности и др. [2]. Известные алгоритмы решения СЛАУ можно разделить в основном на две группы: прямые методы и итерационные методы [1, 2, 5, 6].

Прямые («точные») методы позволяют получать с помощью конечного числа операций точные значения неизвестных, если коэффициенты и правые части уравнений заданы точно и нет округлений при вычислениях. Среди множества прямых методов наибольшее применение имеют: метод исключения неизвестных Гаусса, метод квадратного корня, а также их разновидности, в частности, фронтальный метод и схема разложения Холецкого.

Итерационные методы характеризуются тем, что вначале задаются некоторыми приближенными значениями неизвестных. Затем с помощью каких-либо алгоритмов их последовательно уточняют, приближаясь к точному решению. Наиболее часто используются метод прямой итерации, метод Гаусса-Зейделя, метод последовательной верхней релаксации, градиентные методы наискорейшего спуска и сопряженных градиентов.

Дифференциальные уравнения движения (7) интегрируются различными численными методами [5]. В результате находятся узловые перемещения. Через них определяются все другие искомые величины так же, как функции времени.

Конечно-элементные модели могут быть нелинейными. Модель деформирования физически нелинейна, если в ней учитывается нелинейное поведение материала - нелинейная упругость, текучесть, ползучесть и др. Геометрическая нелинейность при деформировании обусловлена большими деформациями и большими перемещениями.

Нелинейные задачи решаются итерационными методами, при этом на каждой итерации рассматриваются квазилинейные уравнения. В практических вычислениях часто применяется метод Ньютона- Рафсона и его модификации [5]. Для нелинейных задач деформирования иногда эффективны методы переменных параметров упругости, начальных деформаций и начальных напряжений. Если в нелинейной задаче важна история нагружения, нужно производить решение малыми шагами нагрузки.

Анализ результатов решения

В задаче деформирования после определения глобального вектора степеней свободы {U} находят элементные векторы узловых перемещений {U}_e . Через них путем интерполяции с помощью функций формы вычисляются перемещения любых точек элементов. Для стержневых элементов по известным векторам {U}_e из уравнений (3) находят вектора {F}_e, а затем методами сопротивления материалов вычисляют внутренние силы, моменты и напряжения. Для плоских и объемных элементов, дифференцируя аппроксимирующие функции перемещений внутри элементов, находят деформации и по закону Гука вычисляют напряжения.

С целью уточнения результатов вычислений применяют различные способы усреднения. Например, в выбранном узле берут среднюю величину узловых значений напряжений, найденных для всех элементов, примыкающих к этому узлу. Более точные результаты получаются с помощью теории сопряженной аппроксимации [8, 9].

В динамической задаче общий вектор узловых перемещений и все другие указанные выше величины (деформации, напряжения, реакции) находятся как функции времени.