5 . Поддержка языков бд
Для работы с базами данных используются специальные языки, в целом называемые языками баз данных. В ранних СУБД поддерживалось несколько специализированных по своим функциям языков. Чаще всего выделялись два языка - язык определения схемы БД (SDL) и язык манипулирования данными (DML). SDL служил главным образом для определения логической структуры БД, т.е. той структуры БД, какой она представляется пользователям. DML содержал набор операторов манипулирования данными, т.е. операторов, позволяющих заносить данные в БД, удалять, модифицировать или выбирать существующие данные.
Компоненты среды СУБД:
аппаратная часть должна поддерживать все функциональные возможности СУБД для реализации информационных потребностей пользователей. Сюда могут входить рабочие станции конечных пользователей, аппаратные компоненты сети и серверы БД.
программная часть(ПО самой СУБД, ОС, драйверы сетевых устройств, носителей внешней памяти.);
прикладные процедуры обеспечивают интерфейс между конечными пользователями и БД.;
пользователи (администратор данных и админ. БД, разработчики БД, прикладные программисты, конечные пользователи.).
Администрирование БД. Администрирование данных - управление инфо ресурсами, включая планирование БД, разработку и внедрение стандартов, определение ограничений и процедур, а также концептуальное и логическое проектирование БД.
Администратор данных (АД) отвечает за концептуальное и логическое проектирование базы, определение стандартов и бизнес – правилкорпоративной БД. Основная функция управления данными.
Администрирование БД - управление физической реализацией приложений БД: физическое проектирование БД и её реализация, организация поддержки целостности и защиты данных и т.д.Осн. обязанности администратора БД (АБД) сконцентрированы на разработке и сопровождении систем с максимально полным использованием возможностей СУБД. Задачи администрирования БД: оценка и выбор целевой СУБД, физическое проектирование БД, взаимодействие с разработчиками БД, обучение пользователей, ответственность за сдачу в эксплуатацию готового приложения БД, защита данных (пароли); и т. д.
Обзор возможностей и особенностей различных СУБД.(слайд 4)
Название продукта |
Основные преимущества |
Основное назначение |
Access |
Простота освоения. Возможность использования непрофессиональным программистом. Имеет мощные средства подготовки отчетов из БД различных форматов. |
Создание отчетов произвольной формы на основании различных данных. Разработка некоммерческих приложений. |
SQL-Server |
Высокая степень защиты данных. Мощные средства работы с данными. Высокая производительность. |
Хранение больших массивов данных. Хранение данных, требующих соблюдения режима секретности или при не допустимости их потери. |
Visual Basic |
Универсальность. Возможность создания компонентов (OLE). Невысокие требования к мощности ПЭВМ. |
Создание приложений средней мощности, не связанных с большой интенсивностью обработки данных. Разработка компонентов OLE. Создание приложений для интеграции компонентов Microsoft Office. |
Visual C++ |
Универсальность. Наибольшая скорость работы приложения. Неограниченная функциональность. |
Создание компонентов приложения для выполнения критических по скорости процессов или обеспечения функциональности, не достижимой в других средствах разработки. |
Visual FoxPro |
Высокий уровень объектной модели. Высокая скорость обработки данных. Интеграция объектно-ориентированного языка программирования с Xbase и SQL. Многоплатформенность. |
Создание приложений масштаба предприятия. Создание приложений для работы на различных платформах (Windows 3.x, Windows 95, Macintosh и т. д.) |
1.МS Ассеss (от англ. ассеss— доступ) — это функционально полная реляционная СУБД. Кроме того, М5 Ассеss — одна из самых мощных, гибких и простых в использовании СУБД. В ней можно создавать большинство приложений, не написав ни единой строки программы, но если нужно создать нечто очень сложное, то на этот случай М5 Ассе$8 предоставляет мощный язык программирования — У1suа1 Ваsiс Ар11са1юп.
Популярность СУБД М5 Ассеss обусловлена следующими причинами:
• Ассеss является одной из самых легкодоступных и понятных систем как для профессионалов, так и для начинающих пользователей, позволяющая быстро освоить основные принципы работы с базами данных;
• система имеет полностью русифицированную версию;
• полная интегрированность с пакетами МS Оffiсе: Word, Ехсе1, Роwег Роint, Маil;
• идеология Windows позволяет представлять информацию красочно и наглядно;
• возможность использования ОLЕ технологии, что позволяет установить связь с объектами другого приложения или внедрить какие-либо объекты в базу данных Ассess;
• технология WYSIWIG позволяет пользователю постоянно видеть все результаты своих действий;
• широко и наглядно представлена справочная система;
• существует набор «мастеров» по разработке объектов, облегчающий создание таблиц, форм и отчетов.
2. SQL-Server
Эта СУБД обеспечивает высокую степень защиты данных, как от случайных потерь, так и от несанкционированного доступа, обладает развитыми средствами обработки данных и хорошим быстродействием. SQL-Server предназначен для хранения большого объема данных.
3. Visual Basic
Visual Basic не требовательна к техническим характеристикам персонального компьютера. Так как Visual Basic является продуктом фирмы Microsoft, то легко интегрируется со всеми приложениями Microsoft Office и многими приложениями, интегрированными в WINDOWS. Предназначен Visual Basis для создания небольших приложений, в которых не требуются большие вычисления и серьезная обработка данных.
4. Visual C++
Это самая скоростная среда программирования, обеспечивающая выполнение расчетов и обработку данных любой сложности, совместима практически со всеми известными приложениями.
5. Visual FoxPro
СУБД Visual FoxPro предназначена для создания приложений баз данных объема предприятия, обладает хорошим быстродействием и устанавливается на различные платформы .
Билет 27.
Проектирование БД начинается с построения ИМ данных. Модель данных - интерпритируемый набор понятий для описания данных связей м\у ними и ограничений, накладываемые на сами данные. При проектировании БД рассм-ся 2 вида информ-ой модели:1)информ-ая модель предметной области, 2)информ-ая модель данных. Информ-ая модель предметн. обл.строится на 2-ом этапе проектирования.Здесь определяется структурные единицы,к-ые используют информацию и направления движения потоков информации между ними.Информац.модель данных имеет более сложную структуру.Здесь отображается источники возникновения информации, точки ее модификации, потребители информации и т.д. В общем виде эту модель можно отразить в следующей схеме(слайд2)
Пользователи 1-m – элементы предметной области, предоставляющие и использующие информацию в БД. В левой части схемы выступают как источники концептуальных требований, то есть предоставляют все необходимые сведения для будущего проекта БД, предоставляют необходимую информацию, сведения для разработчика.(заполняется после щечка) Концептуальная модель данных представляет собой совокупность концептуальных требований всех пользователей базы. При отображении концептуальной модели на конкретном СУБД получается логическая модель данных. (щелчок)Логическая модель состоит из внешних моделей каждого пользователя, где пользователь выступает как источниками, так и потребителями информации. В большинстве случаев это разбиение условно: границы внешней модели могут перекрываться, то есть одни и те же данные (концептуальные требования) могут быть использованы различными пользователями. При переходе от концептуальной к логической модели необходимо обеспечить выполнение следующего условия: внешние модели данных, никак не связанных с типом физической памяти, а также методами и средствами обработки данных – это первый уровень независимости данных. (щелчок)В ходе отображения логической модели на конкретных технических средствах получается физическая модель данных. (Щелчок) Здесь определяется системные и аппаратные требования будущего проекта базы. При переходе необходимо обеспечить следующее условие: концептуальная модель данных допускает некоторого расширения требований без серьёзной переделки самой базы и её структуры – это второй уровень независимости данных. (Щелчок) Это достигается путём высокой техники программирования.
Типы логических моделей: В зависимости от решённых задач проектирования различают 3 вида логических моделей:
(слайд 3)1)Иерархическая модель. Данный тип модели жестко структурирован, взаимосвязи и подчинения между объектами строго разбито на уровни. Управление объектом низшего уровня возможно только объектам уровня выше. Запрещены связи между объектами одного уровня, а также между объектами, минуя промежуточные уровни. Наличие жесткой структуры ограничивает применение этой модели для описания данных. Графическим способом представления иерархической структуры является дерево
Дерево представляет собой иерархию элементов, называемых узлами. Под элементами понимается совокупность атрибутов, описывающих объекты. В модели имеется корневой узел (корень дерева), который находится на самом верхнем уровне и не имеет узлов, стоящих выше него. У одного дерева может быть только один корень. Остальные узлы, называемые порожденными, связаны между собой следующим образом: каждый узел имеет только один исходный, находящийся на более высоком уровне, и любое число (один, два или более, либо ни одного) подчиненных узлов на следующем уровне. Примером простого иерархического представления может служить административная структура высшего учебного заведения: институт – отделение – факультет – студенческая группа (слайд 3)
К достоинствам иерархической модели данных относятся эффективное использование памяти ЭВМ и неплохие показатели времени выполнения операций над данными. Недостатком иерархической модели является ее громоздкость для обработки информации с достаточно сложными логическими связями.
(слайд 4)2)Сетевая модель данных- более гибкая и более демократическая, чем иерархическая. Здесь трудно выделить главные и подчиненные объекты, любой объект может быть рассмотрен как в той, так и в другой роли. Разрешены любые взаимосвязи как между объектами одного уровня, так и через промежуточные. При организации данных с большим количеством объектов возможна путаница в самой структуре данных. Пример простой сетевой структуры показан на
(слайд 5)3)Реляционная модель данных-наиболее распространенный тип модели при проектировании БД. В данной модели как объекты, так и связи между ними представлены в виде двумерных таблиц. Обязательным условием в реляционной модели является наличие первичного ключа в таблице. Реляц. модель впервые была предложена Э. Ф. Коддом в 1970 г. в его статье "Реляц. модель данных для больших совместно используемых банков данных". Основной структурой данных в модели яв-ся отношение, именно поэтому модель получила название реляционной (от лат relation - отношение). Любая таблица реляционной базы данных состоит из строк (называемых также записями) и столбцов (называемых также полями). Строки таблицы содержат сведения о представленных в ней фактах (или документах, или людях, одним словом, - об однотипных объектах). На пересечении столбца и строки находятся конкретные значения содержащихся в таблице данных.
Поле или комбинацию полей, значения которых однозначно идентифицируют каждую запись таблицы, называют возможным ключом (или просто ключом ). Если таблица имеет более одного возможного ключа, тогда один ключ выделяют в качестве первичного . Первичный ключ любой таблицы обязан содержать уникальные непустые значения для каждой строки. Поле, указывающее на запись в другой таблице, связанную с данной записью, называется внешним ключом . Подобное взаимоотношение между таблицами называется связью . Связь между двумя таблицами устанавливается путем присвоения значений внешнего ключа одной таблицы значениям первичного ключа другой. Группа связанных таблиц называется схемой базы данных . Информация о таблицах, их полях, первичных и внешних ключах, а также иных объектах базы данных, называется метаданными . Достоинство реляционной модели данных заключается в простоте, понятности и удобстве физической реализации на ЭВМ. Именно простота и понятность для пользователя явились основной причиной ее широкого использования.
К основным недостаткам реляционной модели относятся отсутствие стандартных средств идентификации отдельных записей и сложность описания иерархических и сетевых связей.
(слайд 6)Взаимосвязи в БД: всего существует 3 типа взаимосвязей (в реляционных отношениях):
- один к одному
- один ко многим
- многие ко многим
1
)
Например:
Если между таблицами установлена связь «один к одному», то одной записи из первой таблицы соответствует только одна запись из второй таблицы. При этом не допускается существование несвязанных записей ни в одной из таблиц. Файл «один к одному» заходим Схема данных, перетаскиваем поле Код_сотрудника к полю код_ документа)(слайд 6)
Документ
Код документа |
Серия |
Номер |
К |
Фамилия |
од
сотрудника
2) Если между таблицами установлена связь «один ко многим», то одной записи из первой таблицы соответствует 0 или несколько записей из второй таблицы, а одной записи из второй таблицы может соответствовать только одна запись из первой таблицы. В этом случае первая таблица главная (родительская), вторая таблица подчинённая (дочерняя).(Файл «один ко многим» заходим Схема данных, перетаскиваем поле Код_владельца к полю код_ владельца)(слайд 7)
Код_влад
в табл авто внешний ключ.
Код владельца |
Фамилия |
|
|
1 |
Иванов |
|
|
2 |
Сидоров |
|
|
3 |
Андреев |
|
|
Код авто |
Модель |
Код владельца |
|
1 |
ЗАЗ-968 |
1 |
|
2 |
CR-V |
2 |
|
3 |
СХ-7 |
1 |
|
4 |
X5 |
3 |
|
3) Если установлено отношение «многие ко многим», то нескольким записям из первой таблицы соответствуют несколько записей из второй таблицы и наоборот. Допускается несвязанность записи в обеих таблицах. (Файл «многие ко многим» заходим Схема данных, перетаскиваем поле Код_менеджера к полю код_ менеджера(внешний ключ) втаблице код_сделки, поле Код_клиента к полю код_ клиента(внешний ключ) втаблице код_сделки, сумма – не ключевое поле), (слайд 8)
Код менеджера |
Фамилия |
1 |
Иванов |
2 |
Петров |
3 |
Сидоров |
Код клиента |
Фамилия |
1 |
Воронов |
2 |
Сорокин |
3 |
Голубев |
Код сделки |
Код менеджера |
Код клиента |
Сумма сделки |
1 |
2 |
1 |
50 руб. |
2 |
3 |
3 |
2500 руб. |
3 |
1 |
2 |
500 руб. |
4 |
1 |
3 |
700 руб. |
Билет 28.
Основные понятия в теории БД.
Базы данных (БД) – это один или несколько файлов данных, предназначенных для хранения, изменения и обработки больших объемов взаимосвязанной информации. Примерами баз данных может служить телефонная книга, каталог товаров, штатное расписание, информация по владельцам автомобилей и т.д. Для создания баз данных используют специализированное ПО СУБД.
СУБД – это система программного обеспечения, представляющая доступ к данным многих пользователей. СУБД обеспечивает правильность, полноту и непротиворечивость данных, а также простой и понятный интерфейс.
Основой баз данных является информация (данные) о конкретной группе предметов (объектах). Как правило, базы данных создаются для какого-либо предприятия (организации) в целом. Информацией (данными) пользуются различные структурные единицы предприятия, причем каждая единица использует одни и те же данные. В зависимости от конкретных ситуаций, круга выполняемых задач, прав доступа для каждой структурной единицы информация из базы данных может быть выдана в различных форматах данных.
Важным в проектировании баз данных является терминология – однозначное толкование назначения конкретных данных, их типа и структуры (главная задача для чего будет использоваться информация из базы). Создание единой терминологии позволяет разрешить конфликтные ситуации при проектировании и потому является одним из сложных этапов в создании базы данных.
Объект – это нечто существующее и различимое, обладающее набором свойств. Отличие одного объекта от другого определяется конкретными значениями имеющихся свойств. Объекты бывают материальные и идеальные или абстрактные.
Сущность – отображение объекта в памяти компьютера.
Параметр — конкретное значение любого из свойств объекта.
Атрибут — конкретное значение любого из свойств сущности.
Таблица — некоторая регулярная структура, состоящая из конечного числа записей (строк). Как правило, в базах данных используются двумерные массивы (матрицы).
Запись — это одна строка таблицы (или нескольких таблиц), полностью описывающая одну сущность. Каждая запись состоит из конечного числа полей.
Поле — это один элемент записи, в котором хранится конкретное значение атрибута.
Ключевым элементом данных (ключом) называется такой атрибут, по значению которого можно определить значения других атрибутов.
Первичный ключ – это атрибут или группа атрибутов, которые однозначно определяют каждую запись в таблице. Первичный ключ всегда должен быть уникальным, то есть его значения не должны повторяться.
Альтернативный ключ – это отличные от первичного ключа атрибут или группа атрибутов, которые также однозначно определяют каждую запись в таблице. Например: сущность «Служащий» имеет атрибуты: идентификатор служащего (табельный номер), фамилия, имя, отчество, должность, оклад. Первичным ключом назначим поле «Идентификатор служащего». Альтернативным ключом назначим группу полей «Фамилия», «Имя», «Отчество» (только в том случае, если нет тройных тезок).
Связь – это функциональная зависимость между сущностями. Если между некоторыми сущностями существует связь, то атрибуты из одной сущности ссылаются или некоторым образом связаны с атрибутами другой сущности. Связи описываются пятью основными характеристиками.
1.Тип связи – это идентифицирующая характеристика, когда дочерняя сущность однозначно определяется через ее связь с родительской сущностью. Атрибуты, составляющие первичный ключ родительской сущности, обязательно входят в первичный ключ дочерней сущности. 2.Не идентифицирующая характеристика, когда дочерняя сущность определяется иначе, чем через связь с родительской сущностью. Атрибуты первичного ключа родительской сущности входят как неключевые атрибуты в дочернюю сущность. 3.Родительская сущность- главная. 4.Дочерняя (зависимая) сущность. 5.Мощность связи — это отношение количества родительских сущностей к соответствующему количеству дочерних сущностей.
Хранимая процедура – это приложение (программа), объединяющая запросы пользователя и процедурную логику и хранящаяся в базе данных.
Правило – это логическое условие, определяющее значение одного атрибута в зависимости от значения другого атрибута (или группы атрибутов).
Ограничение – это логическое условие, накладывающее ограничение на значение атрибута.
Триггер – это предварительно определенное действие или последовательность действий, автоматически осуществляемых при выполнении операций обновления, добавления или удаления данных. Триггер включает в себя: правила или ограничения, событие, которое требует проверки правил и ограничений, предусмотренные действия, которые выполняются с помощью процедуры или последовательности процедур.
Ссылочная целостность — это обеспечение непротиворечивости функциональных взаимосвязей между сущностями.
Нормализация отношений – это процесс построения оптимальной структуры таблиц и связей в реляционной БД. В процессе нормализации данные группируются в таблицы, представляющие объекты и их взаимосвязи.
Словарь данных — это централизованное хранилище сведений о сущностях, взаимосвязях между сущностями, их источниках, значениях, использовании и форматах представления.
Этапы. Проектирование выполняется в 5 этапов.(слайд 2)
1. построение информационной модели и определение сущностей
Решаются следующие проблемы: 1.ставится задача на проектирование базы данных, то есть доказывается актуальность создания базы данных; 2.собираются концептуальные требования и, на их основе, строится концептуальная модель данных.
Концептуальная модель данных составляется по результатам анализа поставленной заказчиком задачи и обработки концептуальных требований конечных пользователей.
Результатом выполнения первого этапа проектирования является информационная модель данных и список основных сущностей – прообраз будущих таблиц.
2. определение взаимосвязей между сущностями.(слайд 2)
На этом этапе проектирования определяются направление движения потоков информации, источники возникновения информации, места ее модификации и потребления.
Клиент
Заказ
Клиент
Результатом выполнения этого этапа проектирования будет функциональная схема движения потоков информации, с указанием связей между структурными подразделениями фирмы
3.создание первичных и альтернативных ключей.(слайд 3)
Для каждой структурной единицы базы определяются атрибуты (данные), которые будут храниться в базе данных, а также первичный и альтернативный ключи.
Добавление ключей в список концептуальных требований необходимо для обеспечения организации движения потоков информации согласно функциональной схеме, полученной на 2 этапе. При анализе концептуальных требований определяется, какие алгоритмы и расчеты исходных величин (хранимые процедуры) будут храниться вместе с базой данных. При этом количество хранимых процедур должно быть минимальным.
4.нормализация отношений(слайд 4)
Одна из сложных задач проектирования, которая позволяет получить оптимальную структуру БД и все данные сгруппировать в одну или несколько таблиц. В ходе нормализации разработчик избавляется от избыточной информации. Здесь важно соблюсти баланс между колич таблиц и степенем сложности структуры БД. При создании приложений баз данных в объеме предприятия используют три нормальные формы.
4.1. Первая нормальная форма
Для таблицы будут выполнены условия первой нормальной формы, если: каждое поле (концептуальное требование) неделимо; отсутствуют повторяющиеся поля или группы полей.(слайд 4)
Пример приведения таблицы к первой нормальной форме
Исходная, ненормализованная, таблица:
Сотрудник |
Номер телефона |
Иванов И. И. |
283-56-82 390-57-34 |
Петров П. Ю. |
708-62-34 |
Таблица, приведённая к 1NF:
Сотрудник |
Номер телефона |
Иванов И. И. |
283-56-82 |
Иванов И. И. |
390-57-34 |
Петров П. Ю. |
708-62-34 |
4.2. Вторая нормальная форма
Условия второй нормальной формы: выполняются условия первой нормальной формы; первичный ключ однозначно определяет всю запись в таблице; все поля зависят от первичного ключа; первичный ключ не должен быть избыточным.(слайд 5)
Пример приведения таблицы ко второй нормальной форме
Пусть Сотрудник и Должность вместе образуют первичный ключ в такой таблице:
Сотрудник |
Должность |
Зарплата |
Наличие компьютера |
Гришин |
Кладовщик |
20000 |
Нет |
Васильев |
Программист |
40000 |
Есть |
Васильев |
Кладовщик |
25000 |
Нет |
Зарплату сотруднику каждый начальник устанавливает сам, но её границы зависят от должности. Наличие же компьютера у сотрудника зависит только от должности, то есть зависимость от первичного ключа неполная.
В результате приведения к 2NF получаются две таблицы:
Сотрудник |
Должность |
Зарплата |
Гришин |
Кладовщик |
20000 |
Васильев |
Программист |
40000 |
Васильев |
Кладовщик |
25000 |
Здесь первичный ключ, как и в исходной таблице, составной, но единственный не входящий в него атрибут Зарплата зависит теперь от всего ключа, то есть полно.
Должность |
Наличие компьютера |
Кладовщик |
Нет |
Программист |
Есть |
4.3. Третья нормальная форма
Условия третьей нормальной формы:
выполняются условия второй нормальной формы;
каждое не ключевое поле не должно зависеть от другого неключевого поля.(слайд 6)
Пример приведения таблицы к третьей нормальной форме
Исходная таблица:
Фамилия |
Отдел |
Телефон |
Гришин |
1 |
11-22-33 |
Васильев |
1 |
11-22-33 |
Петров |
2 |
44-55-66 |
В результате приведения к 3НФ получаются две таблицы:
Фамилия |
Отдел |
Гришин |
1 |
Васильев |
1 |
Петров |
2 |
Отдел |
Телефон |
1 |
11-22-33 |
2 |
44-55-66 |
5. Пятый этап проектирования базы данных: физическое описание модели(слайд6)
На этом этапе каждая таблица, созданная на четвертом этапе, получает свое имя, под которым она будет храниться в базе данных; каждый атрибут таблицы получает свое имя, тип и размер; для каждого ключа, как первичного, так и внешнего, определяются его характеристики. На пятом этапе также предусматриваются меры по обеспечению ссылочной целостности, то есть установление между таблицами не противоречивых взаимосвязей. Установление не противоречивых взаимосвязей и обеспечение достоверности в данных в любой момент времени является главной и самой трудоемкой задачей.
В результате выполнения работ по пятому этапу можно определить технические характеристики персонального компьютера: объем оперативной памяти, объем памяти на жестком диске и т. д.
СРЕДСТВА БЫСТРОЙ РАЗРАБОТКИ ПРИЛОЖЕНИЙ
С целью увеличения производительности труда программиста и сокращения времени создания прикладных программ разработаны средства быстрой разработки приложений — RAD (Rapid Application Development). Разработка компьютерных программ с использованием RAD предусматривает два этапа:
создание интерфейса;
написание программных кодов по вычислению значений или выполнению различных операций (поиск, сортировка, фильтрация и т. д.).
Наиболее трудоемкая часть работы программиста — создание интерфейса — автоматизирована и сводится к размещению элементов интерфейса на специальном поле формы. При этом геометрические размеры и место расположения элемента интерфейса описываются программными кодами автоматически. Изменение размеров и положения элемента интерфейса производится традиционными приемами, предусмотренными в WINDOWS, с автоматической корректировкой программных кодов. Программисту остается написать в специальном месте программные коды, которые описывают реакцию на выбор элемента интерфейса. Например: если выбрана кнопка «Поиск», то программные коды, описывающие реакцию на выбор кнопки, содержат описание одного из методов поиска.
Среды программирования, содержащие средства RAD, должны иметь: объектно-ориентированный язык программирования; визуальные средства разработки, то есть средства графического создания интерфейса; возможность создания индивидуальных элементов интерфейса на основе стандартных элементов; возможность создания программных продуктов по технологии клиент-сервер; поддержку различных протоколов обмена данными.
Также элементом быстрой разработки приложений является мастер создания таблицы, запросов, отчетов, форм
Билет29.
(слайд 2)Модель - объект или описание объекта, системы для замещения (при определенных условиях предложениях, гипотезах) одной системы (т.е. оригинала) другой системой для изучения оригинала или воспроизведения его каких - либо свойств. Модель - результат отображения одной структуры на другую.
(слайд 2)Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.
(сдайд 2)виды моделирования:
концептуальное моделирование, при котором совокупность уже известных фактов или представлений относительно исследуемого объекта или системы истолковывается с помощью некоторых специальных знаков, символов, операций над ними или с помощью естественного или искусственного языков;
физическое моделирование, при котором модель и моделируемый объект представляют собой реальные объекты или процессы единой или различной физической природы, причем между процессами в объекте-оригинале и в модели выполняются некоторые соотношения подобия, вытекающие из схожести физических явлений;
структурно-функциональное моделирование, при котором моделями являются схемы (блок-схемы), графики, чертежи, диаграммы, таблицы, рисунки, дополненные специальными правилами их объединения и преобразования;
математическое (логико-математическое) моделирование, при котором моделирование, включая построение модели, осуществляется средствами математики и логики;
имитационное (программное) моделирование, при котором логико-математическая модель исследуемого объекта представляет собой алгоритм функционирования объекта, реализованный в виде программного комплекса для компьютера.
Математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики1. Анализ математической модели позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений, и поэтому ММ является мощным средством познания окружающего мира, а также прогнозирования и управления.
(слайд 3)Типы моделей:
·Познавательная модель - форма организации и представления знаний, средство соединение новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью.
·Прагматическая модель - средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность в них подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладные модели.
·Инструментальная модель - является средством построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей.
Познавательные отражают существующие, а прагматические - хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.
(слайд 3)По уровню, "глубине" моделирования модели бывают
эмпирические - на основе эмпирических фактов, зависимостей;
теоретические - на основе математических описаний;
смешанные, полуэмпирические - использующие эмпирические зависимости и математические описания.
· адекватность: модель успешно описывает моделируемую систему;
·информативность: модель должна содержать достаточную информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модели.
Требования к модели
Основные требования к модели:
·наглядность построения;
·обозримость основных свойств и отношений;
·доступность ее для исследования или воспроизведения;
·простота исследования, воспроизведения;
·сохранение информации, содержавшиеся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез) и получение новой информации.
Проблема моделирования состоит из трех задач:
· построение модели (эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей);
· исследование модели (эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей);
· использование модели (конструктивная и конкретизируемая задача).
Свойства модели:
· конечность: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;
· упрощенность: модель отображает только существенные стороны объекта;
· приблизительность: действительность отображается моделью грубо или приблизительно;
Этапы моделирования(слайд 4).
Моделирование включает в себя три необходимых этана: анализ объекта исследования, построение (синтез) модели, получение результата и его оценка путем сравнения с объектом.
Анализ объекта моделирования
В основу модели при ее формировании кладутся некоторые первоначальные знания об объекте, закономерности, устанавливающие свойства этого объекта, его характеристики, особенности связи между составляющими объект, элементами. Получение этих знаний и их уточнение и являются содержанием первого этапа моделирования.
На этом этапе формируется возможно более полное описание объекта: выделяются его элементы, устанавливаются связи между ними, вычленяются существенные для исследования характеристики, выявляются параметры, изменение которых влияет или может влиять на объект. На том же этапе формируются, подлежащие последующей проверке гипотезы о закономерностях, присущих изучаемому объекту, о характере влияния на него изменения тех или иных параметров и связей между его элементами.
На том же этапе исходные предположения переводятся на четкий однозначный язык количественных отношений и устраняется нечеткие, неоднозначные высказывания или определения, которые заменяются, быть может, и приближенными, но четкими,; не- допускающими различных толкований высказываниями
Формирование (синтез) модели
На этом этапе в соответствии с задачами исследования осуществляется воспроизведение, или имитация, объекта на ЭВМ с помощью программы, которая включает в себя закономерности и другие исходные данные, полученные на этапе анализа. Структура модели, существенно зависит от задач исследования..
Оценка результатов
Оценка результатов, заключается, в установлении адекватности модели и объекта исследования - в определении степени близости, сходства, машинных и человеческих действий или их результатов.
Этап оценки модели является важным этапом моделирования. В зависимости от характера объекта исследования и поставленных задач применяются различные методы оценки модели. Особенно большое значение имеет правильная опенка модели, когда моделирование, используется для проверки гипотез, а также когда объекты недостаточно формализованы и нет строгого объективного критерия сходства объекта и модели. С подобной ситуацией часто приходится встречаться при моделировании интеллектуальных, творческих процессов.
Модель должна обладать существенными признаками объекта моделирования. Иначе говоря, модель и объект должны быть неотличимы по этим признакам, которые выбираются, вообще говоря, исследователем в зависимости от цели и. задачи исследования. Так, чучело птицы моделирует внешний вид птицы, но не моделирует ее динамического состояния, например полета.
Применимость математической модели и погрешность
Рассмотрим вопрос применимости математической модели и о влиянии погрешности (возмущений) на возможность решить исходную задачу.
В качестве примера рассмотрим практическую задачу, которая сводится к решению системы линейных уравнений. (слайд5)
Пусть дана система линейных уравнений
(1)
Требуется найти
решение этой системы т.е. координаты
вектора
.
Пусть вектор принадлежит единичной сфере
(2)
(3)
Функция
непрерывна на ограниченном замкнутом
множестве
,
следовательно она достигает на нем
своего наибольшего и наименьшего
значения.
(4)
(5)
Очевидно, что
;
и
,
когда
вырождена и уравнение
имеет не тривиальное решение.
Определение.
Отношение
называется обусловленностью
матрицы
Из (4),(5)
следует
,
а в силу линейности отображения
(6)
Проведем исследование
устойчивости системы (1.1). Для этого
предположим, что матрица
задана точно, а правая часть приближенно,
тогда обозначив через
решение возмущенной системы можно
записать
(7)
Вычитая из (7)
выражение (1) получим
,
тогда из (6), (1) следует
,
(8)
где
- характеризует относительное возмущение
правой части,
- характеризует
относительную ошибку в решении, вызванную
возмущением правой части.
Так как обусловленность матрицы играет роль множителя, то
при близких к единице относительные ошибки правой части и самого решения сравнимы между собой, в этом случае говорят, что система хорошо обусловлена;
при увеличении чувствительность решения к погрешности правой части возрастает – система становится плохо обусловленной.
(слайд7)Рассмотрим пример: дана система из двух уравнений с двумя неизвестными, выявить влияние малого возмущения правой части на решение возмущенной системы.
(9)
Система невырожденная
,
и система имеет решение
.
Внесем возмущение в правую часть, тогда
получим новую возмущенную систему,
которая имеет решение
(10)
Оценим возмущения правой части и величину изменения решения системы, для чего найдем абсолютные и относительные погрешности
,
Таким образом, привнесение малого возмущения привело к существенному изменению решения. И это говорит о плохой обусловленности матрицы
.
Вычислим параметр . Тогда из (3) имеем
.
Найдем наибольшее
и наименьшее значения
на единичной окружности
.
Сделаем замену переменных
,
тогда задача на условный экстремум
сводится к задаче на безусловный
экстремум для функции одной переменной
где
.
Очевидно что
.
Отсюда получим
.
Проверим выполнимость соотношения (8), действительно(слайд8)
Вывод. Таким образом из рассмотренного примера следует, что при разработке математической модели необходимо обратить особое внимание вопросам применимости модели к данному объекту, определению области возможных значений и погрешностям привносимым как во время численных расчетов, так и в ходе уточнения модели.
Компьютерное моделирование. Численный эксперимент.
В наст. время одним из способов теор. исслед. сложных процессов, допускающих математическое описание или мат. моделирование является вычислит. эксперимент ( в широком смысле комп. моделирование) т.е. исследование реальных процессов средствами вычислительной математики. Численный эксперимент- компьютерная реализация модели.
В вычисл. экспер. можно выделить ряд этапов:
Выбор мат. модели. Исследуя вопрос существования единственности решения, определ. области значений для входных и выходных параметров, оценивается необходимая точность определения результата.
Построение приближенного (численного) метода решения задачи, написание вычислительного алгоритма. Оценка качества алгоритма по достигаемой погрешности и времени исполнения.
Программирование для ЭВМ вычислительного алгоритма.
Проведение расчетов на ЭВМ.
Анализ полученных результатов с уточнение мат. модели.
Более подробно остановимся на втором этапе.
При выборе вычислительного алгоритма руководствуются следующими требованиями:
• алгоритм должен давать решение задачи с любой степенью точности ε > 0 за конечное число действий Q(ε).
• Алгоритм должен быть оптимальным по времени исполнения, сложности, и по числу арифметических операций Q(ε).
• Алгоритм должен быть оптимальным по реальным вычислениям (т.е. учитывать округление исходных данных, промежуточных результатов; погрешности методов, искомого результата).
• Алгоритм должен быть оптимальным по характеру исполнения (в одновариантном или многовариантном режиме).
Билет 30.
Приближенное решение нелинейных уравнениий.
(слайд 2)ОТДЕЛЕНИЕ
КОРНЕЙ Пусть дано уравнение вида
(1),
где
-определена
и непрерывна на
.
Найти корни уравнения. Первый этап
численного решения уравнения (1) состоит
в отделении корней, т. е. в установлении
количества корней, «тесных» промежутков,
содержащих только один корень.
Теорема: Если
принимает
значения разных знаков на концах отрезка
,т.е.
,то
внутри этого отрезка содержится по
крайней мере 1 корень уравнения,.т.е.
.
Следствие.1)Если
выполнены условия теор,а также функция
монотонна,то
единств корень
.
2) Если
непрер произв
и корни уравнения
легко
вычислить,то для отделения корней
уравнения (1) достаточно посчитать знаки
функции
в
точках корней ее производной и в граничных
точках
.
Таким образом,
если на отрезке
функция непрерывна и монотонна, а ее
значения на концах отрезка имеют разные
знаки, то на рассматриваемом отрезке
существует один и только один корень.
Заметим, что под этот критерий не
подпадают кратные корни уравнений,
например, очевидный корень уравнения
.
Воспользовавшись этим критерием можно отделить корни аналитическим способом, находя интервалы монотонности функции.
Отделение корней
можно выполнить графически,
если удается построить график функции
.
В ряде случае бывает удобно заменить
уравнение
эквивалентным уравнением вида
.
Корни этого уравнения определяются
абсциссами точек пересечения графиков
функций
и
.(слайд
2)
В качестве примера
рассмотрим уравнение
.
Переходя к эквивалентному уравнению
построим графики функций
и
Из графика видно, что уравнение содержит
один корень, расположенный в интервале
.
(слайд 3)МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ
Пусть уравнение
(1) имеет на отрезке [a,b]
единственный корень, причем функция
F(x)
на этом отрезке непрерывна. Разделим
отрезок [а;b]
пополам точкой
.
Если
,
то возможны два случая: либо F(x)
меняет знак на отрезке [а; с]либо на
отрезке [с; b].
Выбирая в каждом случае тот из отрезков,
на котором функция меняет знак, и,
продолжая процесс половинного деления
дальше, можно дойти до сколь угодно
малого отрезка, содержащего корень
уравнения.
Рассмотренный метод можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью.
Приближенное
решение
и погрешность приближения
находятся по схеме:
,
где
,
-число
разбиений отрезка.
Блок-схема на слайде(4), некоторые элементы пустые
пример. Нужно
уточнить корни уравнения
на отрезках
,
с точностью
,
отрезки получаем после отделения корней.
Его корни
.
(программу можно запустить)
алг половинное деление
нач вещ a,b,e,c,f,x,d
ввод a,b,e
нц пока (b-a)>e
c:=(a+b)/2;
f:=(a**2-4*a+3)*(c**2-4*c+3)
если f<=0
то b:=c
иначе a:=c
все
кц
x:=(a+b)/2
d:=(b-a)/2
вывод 'x=',x,нс
вывод 'd=',d
кон
a b e
0.8 1.1 0.0001
x=0.9999878
d=3.66211e-05
2.9 3.1 0.0001
x=2.999951
d=4.882808e-05
(слайд5)МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
Заменим уравнение (1) равносильным уравнением
(3)
Пусть
– корень уравнения (3), а хо
– полученное каким-либо способом нулевое
приближение к корню
.
Подставляя x0
в правую часть уравнения (1.3), получим
некоторое число
.
Проделаем то же самое с
,
получим
и т. д. Применяя шаг за шагом соотношение
для n
= 1,2,..., образуем числовую последовательность
x0,x1,…,xn,…,
(4) которую называют последовательностью
приближений или итерационной
последовательностью (от лат interatio
– повторение).
Процесс построения итерационной последовательности имеет простую геометрическую интерпретацию.
Последовательность
приближений может быть как сходящейся,
так и расходящейся.
А) Сходящаяся последовательность б) расходящаяся последовательность
Если последовательность (4) сходится, а функция f непрерывна, то предел последовательности (4) является корнем уравнения (3).
Действительно,
пусть
.
Перейдем к пределу в равенстве
:
(5), т.е.
.
(слайд 6)Достаточные условия сходимости итерационного процесса выясняются следующей теоремой.
Теорема 1.1. Пусть уравнение имеет единственный корень на отрезке [a; b] и выполнены условия:
1) f(x) определена и дифференцируема на [a; b];
2)
для всех
;
3) существует такое
вещественное q,
что
|
для всех
.
Тогда итерационная
последовательность
(n=1,2,…)
сходится при любом начальном члене
.
В заключение заметим, что условия теоремы 1.1 не являются необходимыми. Это означает, что итерационная последовательность может оказаться сходящейся и при невыполнении этих условий.
(слайд 6)ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДА ИТЕРАЦИЙ
Пусть xn
– приближение к истинному значению
корня уравнения
.
Абсолютная ошибка приближения xn
оценивается модулем
.
Имеем:
(6). Сравним (6) с остатком ряда:
(7). Имеем, ввиду оценок ,
.
Таким образом, для
оценки погрешности n-го
приближения получается формула
(8). На практике удобнее использовать
модификацию формулы (8). Примем за нулевое
приближение xn-1
(вместо x0).
Следующим приближением будет xn
(вместо х1).
Учитывая также, что при 0<q<1
будет
(n=1,2,...),
из (1.12) получаем:
(9).Если задана точность
,
то
получаем
Билет 31.
(слайд 2)Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости f
Таблица 1
x x1 x2 … xn |
f(x) y1 y2 … yn |
Найти функцию заданного вида:
(1)
которая в точках х1, х2, ..., хn, принимает значения как можно более близкие к табличным значениям у1, у2, ..., уn.
Практически вид приближающей функции F можно определить следующим образом. По таблице 1 строится точечный график функции f, а затем проводится плавная кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек.(слайд 2)
По полученной таким образом кривой устанавливается вид приближающей функции (обычно из числа простых по виду аналитических функций).
Рассмотрим один
из распространенных способов нахождения
формулы (1). Предположим, что приближающая
функция F
в точках х1,
х2,
..., хn
имеет значения
(2)
Требование близости
табличных значений y1,
y2,
…,yn
и значений (2) можно истолковать следующим
образом. Будем рассматривать совокупность
значений функции f
из таблицы 1 и совокупность (2) как
координаты двух точек n-мерного
пространства. С учетом этого задача
приближения функции может быть
переформулирована следующим образом:
найти такую функцию F
заданного вида, чтобы расстояние между
точками М(y1,
y2,
…,yn)
и
(
)
было наименьшим. Воспользовавшись
метрикой евклидова пространства,
приходим к требованию, чтобы величина
(3)
была наименьшей, что равносильно
следующему: сумма квадратов
(4) должна быть наименьшей.
Итак, задача приближения функции f теперь формулируется следующим образом: для функции f, заданной таблицей 1, найти функцию F определенного вида так, чтобы сумма квадратов (4) была наименьшей.
Эта задача носит названиё приближения функции методом наименьших квадратов.
(слайд 3)В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f часто используют следующие функции:
1)
-линейная
2)
-квадратичная
3)
-степенная
4)
-экспоненциальная
5)
-
логарифмическая
Здесь a,b,c,m—параметры: Когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значёний параметров.
(слайд 4)Рассмотрим метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере приближающей функции с тремя параметрами:
y=F(x,a,b,c) (5)
Итак, имеем:
,
i=1,2,…,n.
Сумма квадратов разностей соответствующих
значений функций f
и F
будет иметь вид:
Эта сумма является функцией Ф(а, b, с) трех переменных (параметров а, b и с). Задача сводится к отысканию ее минимума. Используем необходимое условие экстремума:
,
,
,
т. е.
(6)
Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными относительно параметров а, b и с, мы и получим конкретный вид искомой функции F(х, а, b, с). Как видно из рассмотренного примера, изменение количества параметров нё приведет к искажению сущности самого подхода, а выразится лишь в изменении количества уравнений в системе (6).
Естественно ожидать, что значения найденной функции F(х, а, b, с) в точках x1, x2, …,xn будут отличаться от табличных значений y1, y2,…,yn. Значения разностей
( i
=1,2,…,n)
(7)
называются отклонениями (или уклонениями) измеренных значений у от вычисленных по формуле (5). Для найденной эмпирической формулы (5) в соответствии с исходной таблицей 1, можно, следовательно, найти сумму квадратов отклонений
(8)
которая в соответствии с принципом наименьших квадратов для заданного вида приближающей функции и найденных значений параметров a, b, c) должна быть наименьшей.
Этот метод
используется для вычисления параметров
регрессионной модели с помощью табличного
процессора. Регрессионная модель –
функция, описывающая зависимость между
количественными характеристиками
сложных систем. Пользователь сам выбирает
тип модели. График регрессионной модели
называется трендом. Характеристикой
построенной модели является параметр
-
коэффициент детерминированности. Чем
он ближе к 1,тем модель лучше.
(слайд 5)Методика организации лабораторного практикума на построение регрессионных моделей с помощью Exсel.
Вначале ученики должны усвоить понятия модели, регрессионной модели, тренда, повторить как строить диаграммы.
Практикум «Получение регрессионных моделей»
Цель: освоение способов построения по экспериментальным данным регрессионной модели и тренда средствами MS Exсel.
Задание. Найти зависимость частоты заболеваемости жителей города бронхиальной астмой от качества воздуха.
С, мг.куб.м |
Р, бол./тыс. |
2 |
19 |
2,5 |
20 |
2,9 |
32 |
3,2 |
34 |
3,6 |
51 |
3,9 |
55 |
4,2 |
90 |
4,6 |
108 |
5 |
171 |
Построить таблицу, получить точечную диаграмму, построить разные типы трендов. Для этого:
щелкнуть мышью по полю диаграммы;
выполнить команду Диаграмма/Добавить линию тренда;
в открывшемся окне на закладке «Тип» выбрать «Линейный тренд»;
перейти в закладке «Параметры»; установить галочки на флажках «показывать уравнения на диаграмме» и «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R^2», щелкнуть на кнопке OK.
При построении трендов разных типов учитель сначала объясняет как добавить тренд,как выбирать разные типы.
(файл «построение регрессионных моделей», лист 1)
Регрессионная модель может использоваться для предсказания, прогнозирования значений параметров,в точках, не являющихся экспериментальными. Расчет зависимой величины в пределах экспериментальных значений независимого параметра называется восстановлением значения, за пределами – экстраполяцией.
(слайд 6)Корреляционные зависимости- Зависимости между величинами, каждая из которых подвергается не контролируемому полностью разбросу. Корреляционный анализ-раздел математической статистики, который исследует такие зависимости. Он позволяет определить,оказывает ли один фактор существенное влияние на другой; из нескольких факторов выбрать наиболее существенный. Коэффициент корреляции – величина, которая является мерой корреляционной зависимости. Значение его лежит между -1 и +1.Чем ближе по модулю к 1, тем корреляция сильнее.
Цель практикума «Расчет корреляциооных зависимостей в EXSEL»:получение представления о корреляционной зависимости величин;
Освоение способа вычисления коэффициента корреляции с помощью функции КОРРЕЛ.
(слайд 7)Пример. Рассчитать зависимость успеваемости учащихся старших классов от двух факторов: обеспеченности школьной библиотеки учебниками и обеспеченности школы компами.
№ |
обеспеченность учебниками |
Успеваемость |
обеспеченность компьютерами |
успеваемость |
1 |
50 |
3,81 |
10 |
3,98 |
2 |
78 |
4,15 |
52 |
4,01 |
3 |
94 |
4,69 |
19 |
4,34 |
4 |
65 |
4,37 |
78 |
4,41 |
5 |
99 |
4,53 |
45 |
3,94 |
6 |
87 |
4,23 |
32 |
3,62 |
7 |
100 |
4,73 |
90 |
4,6 |
8 |
63 |
3,69 |
21 |
4,24 |
9 |
79 |
4,08 |
34 |
4,36 |
10 |
94 |
4,2 |
45 |
3,99 |
11 |
93 |
4,32 |
67 |
4,5 |
|
0,780931217 |
|
0,522811757 |
|
Чтобы вычислить зависимость обеспеч учебниками и успеваемостью, нужно выделить эти столбцы и воспльзоваться функцией КОРРЕЛ. Чтобы вычислить зависимость обеспеч компами и успеваемостью, нужно выделить эти столбцы и воспльзоваться функцией КОРРЕЛ.
Для обоих зависимостей получены коэффициенты линейной корреляции. Корреляция между обеспеченностью учебниками и успеваемостью сильнее, чем корреляция между компьютерным обеспечением и успеваемостью. Отсюда вывод: пока еще книга остается более значительным источником знаний, чем комп. (файл «построение регрессионных моделей», лист 3)
Билет 32.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть функция
непрерывна на отрезке
.
При вычислении определенного интеграла
иногда удается воспользоваться известной
формулой Ньютона—Лейбница:
Здесь F(х)
— одна из первообразных функций f(х)
(т.е. такая функция, что F'(х)=f(х).
Однако даже в тех случаях, когда
первообразную удается явно найти в
аналитической форме, не всегда удается
довести до числового ответа значение
определенного интеграла. Если к тому
же учесть, что иногда подынтегральная
функция вовсе задается таблицей или
графиком, то становится понятным, почему
интегрирование по этой формуле не
получает широкого применения на практике.
В подобных случаях
применяют различные методы приближенного
(численного) интегрирования. Формулы,
используемые для приближенного вычисления
однократных интегралов, называют
квадратурными формулами. Простой прием
построения квадратурных формул состоит
в том, что подынтегральная функция f(х)
заменяется на отрезке [а;b]
функцией
,
для которого существует
и
.
ФОРМУЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ(слайд 2)
Самым простейшим методом является метод прямоугольников. Здесь площадь криволинейной фигуры заменяется площадью прямоугольника. Существует несколько разновидностей метода прямоугольников.
- формула левых
прямоугольников.
б)
-
формула правых прямоугольников
- формула средних
прямоугольников.
Если
случайная величина равномерно
распределенная на отрезке
,
то
.
2) если
,то
получаем формулу трапеций,
3) если
,
то формула Симпсона,
4) если
,
-
полином Лагранжа, то получаем квадратурные
формулы Ньютона – Котеса.
(слайд 3)В
общем, если
разделена на n
участков,так что
,
то
-формула
левых прямоугольников.
-формула
правых прямоугольников.
-формула
средних прямоугольников.
(слайд3)Оценка
погрешности для левых и правых
прямоугольников:
,
средних -
,
(слайд 4)ФОРМУЛА ТРАПЕЦИЙ
Здесь площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции
Площадь каждого элементарного сегмента разбиения считается по формуле
где
Просуммируем элементарные площади
т.к.
то полная площадь определяется выражением
.
Если аналитическое выражение подынтегральной функции известно, может быть поставлен вопрос об оценке погрешности численного интегрирования по формуле (погрешность метода). В этом случае имеется в виду, что
где
—остаточный
член квадратурной формулы. Формулу
остаточного члена получим вначале для
отрезка [х0; х1]. Имеем:
откуда следует,
что естественно рассматривать R
как функцию шага h:
R=R(h).
В результате решения получаем формулу
для погрешности метода
При распространении
оценки на весь отрезок интегрирования
[а;b]
(т. е. на все n
частичных отрезков) получается формула:
Учитывая, что hn =b-a, найден следующий окончательный вид формулы для оценки погрешности метода интегрирования по формуле трапеций:
,
где
(слайд 5)ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
Искомый интеграл
вычисляется дважды: при делении отрезка
[а;b]
на n
частей и на 2n
частей. Вслед за этим полученные значения
интеграла (обозначим их In
и I2n)
сравниваются,
и совпадающие первые десятичные знаки
считаются верными и обозначаются
.
Допустим, что
медленно меняется тогда можно допустить
.
с
шагом h,
с шагом 2h,
За значение
интеграла можно взять
.
Если известна допустимая погрешность,
то при двойном пересчете как только
мы достигаем допустимой погрешности
при вычислении приближенного значения
интеграла. Формула удобна для практической
оценки погрешности метода трапеции, но
требует двойного счета. Из оценочных
формул следует, что ошибка интегрирования
по методу трапеций уменьшается с
уменьшением шага интегрирования.
МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО(слайд 7)
Основывается
на теореме о среднем: если на отрезке
задана
некоторая непрерывная интегрируемая
функция
то
найдется такая точка, принадлежащая
этому отрезку, что справедлива формула
Т.е. площадь криволинейной трапеции
можно заменить площадью прямоугольника
,
одной из сторон которого является
отрезок
,
а численное значение другой стороны —
Выберем
на отрезке
случайных точек
Можно
показать, что при достаточно большом выполняется условие
т.е.
—
среднее между ординатами случайно
выбранных точек
— количество испытаний (случайных выборок).
Для двойного интеграла метод Монте-Карло дает следующую формулу интегрирования:
где
— оценка
для
случайных выборок;
— независимые
случайные числа на отрезках
Метод Монте-Карло, как и классические методы, дает приближенные результаты.
Погрешность метода Монте-Карло
В
отличие от классических методов эта
погрешность не зависит от вида
подынтегральной функции и от кратности интеграла. Заметим, что ошибку можно
сделать сколь угодно малой, либо увеличивая число испытаний
, либо применяя дополнительно методы существенной выборки или случайного
блуждания (интересующихся этим вопросом отсылаем к теории вероятностей).
Методика.
(слайд 6) Дан
.Найти
приближенное решение по формуле
трапеции.(a=0,1,
b=0,6,
n=26).
При вычислении интегралов формулой
трапеции нужно сначала вспомнить
формулу трапеции. Для решения задачи
организуется цикл n-1
раз, вычисляется площадь трапеции для
каждой точки отрезка с шагом h.
(программу можно запустить)
алг трапеция
нач вещ a,b,h,f,S,x
цел n
ввод a,b,n
h:=(b-a)/n
S:=(sin(a)/a+sin(b)/b)/2
x:=a
нц n-1 раз
x:=x+h
S:=S+sin(x)/x
кц
S:=S*h
вывод S
кон
a b n
0.1 0.6 26
0.4881794
блок-схема (слайд
6)
1