Понятие о «жестких» дифференциальных уравнениях
Тот факт, что в строго устойчивых методах можно выбрать шаг достаточно малым и обеспечить его устойчивость, мало помогает в некоторых задач. В таких задачах шаг приходится выбирать настолько малым, что приводит к недопустимо большим затратам машинного времени. Подобные задачи называются жесткими.
Понятие жесткости можно проиллюстрировать на примере решения уравнения
Точным решением которого является
Применим (для простоты рассуждений) метод Эйлера, получим последовательность
,
где слагаемое
аппроксимирует
в точном решении.
Величина
быстро убывает с ростом x,
и решение, начиная с некоторого x,
мало отличается от единицы. При этом
интуитивно кажется, что для интегрирования
можно взять достаточно большой шаг
(поскольку решение почти не меняется).
Однако из последнего соотношения видно,
что при
величина
будет расти, свидетельствуя о
неустойчивости.
Таким образом, хотя слагаемое при больших x практически не вносит никакого вклада в решение, при численном решении его приходится аппроксимировать очень точно и выбирать h очень малым.
Реально описанная ситуация встречается при решении задач химической кинетики, описывающих систему реакций, характерные времена которых сильно отличаются (такое различие может достигать нескольких порядков) [].
В целом «жесткие» системы требуют применения специальных методов (это, как правило, неявные методы).
В Mathcad для решения «жестких» систем предлагаются методы BDF, Radau, Stiffb, Stiffr.
Метод AdamsBDF сам определяет, является ли система жесткой, и в этом случае вызывается метод BDF, если же система не жесткая, то вызывается обычный метод Adams.
Все эти методы являются «неявными» методами, о которых речь шла выше.
Эти методы в качестве дополнительного аргумента могут использовать Якобиан от правых частей дифференциальных уравнений, что может значительно улучшить сходимость метода.
Совет: Загляните в Справку MathCad (разделу Calculus and Differntial Equations в шпаргалках (QuickShets)). Там вы можете найти достаточно много тем для семестровых работ. Еще лучше, если у вас к MathCad приложены электронные книги (E-books), среди которых имеется книга DIFFERENTIAL EQUATIONS SOLVE BLOCK, в которой вы можете найти массу интересных инженерных приложений (в том числе и пример с «жесткими» дифференциальными уравнениями — проблему Хайриса)
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
В краевых задачах (в отличие от задачи Коши, в которой все дополнительные условия задаются в начальной точке) дополнительные условия задаются на концевых точках отрезка интегрирования (краях отрезка — отсюда и название «краевые задачи»).
Иногда такие задачи называют задачами с граничными условиями или просто «граничными задачами».
И хотя в краевой задаче само дифференциальное уравнение может быть точно таким же, как и в задаче с начальными условиями, краевая задача требует обычно для решения значительно больших усилий. Это проявляется и в численных методах.
Чтобы понять различие между краевой задачей и задачей с начальными условиями, рассмотрим движение материального тела.
Дифференциальное движение материальной точки описывается уравнениями Ньютона
Здесь V{u,v)
–вектор скорости,
— вектор сил.
Однако, для этого уравнения (второго порядка) можно рассматривать две различные задачи:
в начальной точке A известна и величина скорости и направление вектора скорости (угол ). В этом случае все условия заданы в одной начальной точке, и мы получаем задачу Коши.
в начальной точке известна только величина скорости (не известен угол ), но задана точка B, в которую должно попасть материальное тело.
В первом случае, зная все условия в начальной точке, можно решать задачу «пошагово» (например, методом Эйлера), получив после выполнения всех шагов искомую траекторию
Во втором случае такая «пошаговая» процедура невозможна. Чтобы попасть в заданную точку B, надо определить неизвестный угол , но для этого надо решить задачу для всей траектории. В реальной жизни эта задача решается метод «пристрелки», когда многократно подбирается этот угол (корректируя «недолет–перелет»).
Таким образом, можно сказать, что для решения краевой задачи требуется многократно решить задачу с начальными условиями. Кстати, среди численных методов решения краевой задачи действительно существует метод, который так и называется «метод пристрелки».