Свойства средней арифметической величины

1. Если статистический вес каждой варианты увеличить или уменьшить в D раз, то величина средней арифметической не изменится.

При этом следует учитывать, что частоту можно заменить частостью:

2. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в D раз, то средняя арифметическа соответственно увеличится или уменьшиться в D раз.

3. Если каждую варианту увеличить или уменьшить на произвольную постоянную величину А, то и средняя арифметическая соответственно увеличиться или уменьшиться на эту величину А.

4. Сумма отклонений всех вариант от средней арифметической величины равна нулю: , вследствие действия закона больших чисел.

Расчёт средней арифметической величины способом условных моментов

Используя свойства средней арифметической, её расчёт может быть произведён способом условных моментов.

В качестве D в интервальном вариационном ряду распределения берут величину интервала, а в качестве А – центральную варианту срединного интервала.

Пример. Определить среднюю массу груза в поезде на основе способа условных моментов.

Решение. Для выполнения поставленной задачи заполним следующую таблицу:

Расчёт средней арифметической величины способом условных моментов

Грузовые поезда по массе, т ( )	Число поездов ( )	Центральная варианта интервала ( )
до 2000	3	1750	5250	10,00
2000-2500	5	2250	11250	16,67
2500-3000	6	2750	16500	20,00
3000-3500	10	3250	32500	33,33
выше 3500	6	3750	22500	20,00
Итого:	30	-	-	11

Порядок выполнения расчётов:

1. Найти значения А = (2500+3000)/2= 2750, и D = 500т,

2. Определить центральные варианты остальных интервалов.

3. Произвести расчёт .

4. Вычислить .

5. Произвести вычисление средней арифметической величины способом условных моментов:

Средняя гармоническая величина (простая и взвешенная)

Данная величина получается из формулы степенной средней при условии, что показатель степени z у всех вариант равен -1.

Средняя гармоническая простая:

Средняя гармоническая взвешенная:

На практике средняя гармоническая взвешенная применяется в тех случаях, когда статистический вес не задан в явной форме. Он входит сомножителем в один из заданных показателей, который называется мнимым статистическим весом.

Пример. Определить среднюю статическую нагрузку одного вагона по заданным исходным данным.

Информация о погрузке различных родов грузов

Род груза	Погружено, т
	всего (m)	в 1 вагон (x)
Каменный уголь	14100	60
Чёрные металлы	9900	45
Хлеб	2520	36
Машины	300	15
Итого:	27420	-

Решение. Рассмотрим исходные данные:

х=2740/(1410/60+9900/45+2520/36+300/15) = 46,87 т/ваг

Таким образом, в данном примере статистический вес (число погруженных вагонов) не задан в явной форме. Он входит сомножителем в заданный показатель «всего погружено тонн».

Для нахождения искомой величины произведем соответствующие расчёты, используя формулу средней гармонической взвешенной величины: