3. Группа автоморфизмов поля gf(pm)

Поле не имеет нетривиальных идеалов. Поэтому гомоморфизм полей это всегда взаимно однозначное отображение (изоморфизм). Отображение поля в самого себя называют также автоморфизмом. Очевидно, что при автоморфизмах элементы подполя остаются неподвижными (при гомоморфизме единица поля переходит в единицу). Будем обозначать такое отображение . Зафиксируем его в виде определения.

Определение 2. Отображение поля GF(p^m) над полем , которое оставляет неподвижными элементы поля и удовлетворяет условиям:

(i) ,

(ii) ,

называется автоморфизмом поля GF(p^m) над полем .

Можно убедиться, что множество всех автоморфизмов поля GF(p^m) образует группу относительно произведения отображений и , которое задается формулой .

Эта группа называется группой автоморфизмов или группой Галуа поля GF(p^m).

П р и м е р. Рассмотрим поле при условии ; . Группа автоморфизмов этого поля состоит из тождественного отображения 1 и отображений

.

Очевидно, что .

Справедлива теорема.

Теорема 4. Множество всех (нетривиальных) автоморфизмов поля GF(p^m) является циклической группой порядка m, которая состоит из отображения и его степеней.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства воспользуемся утверждением теоремы 5, Л-3, РПЭК (для любых элементов и из GF(p^m) выполняется равенство ), в соответствии с которым из того, что и вытекает . Очевидно также, что из равенства вытекает справедливость отображения . Отображения сохраняются и для всех степеней , , то есть отображение и все его степени задают автоморфизмы поля GF(p^m).

Пусть теперь  примитивный элемент поля GF(p^m), а  автоморфизм поля. По определению автоморфизма ( ) выходит, что элементы и ^p имеют один и тот же минимальный многочлен (см. свойство минимальных многочленов М6, Л-4, РПЭК: минимальные многочлены элементов и равны). Тогда в соответствии с определением циклотомического класса (см. предыдущую лекцию) ^ является одним из элементов . Но если , то .

Из этой теоремы следует, что в конечном поле характеристики p каждый элемент имеет единственный корень степени p.

В соответствии со свойством ПСВ по модулю m, рассмотренным при изучении теории чисел (теорема 2, Л-12, ТЧ (приведенная система вычетов по модулю состоит из ( и, следовательно, четное число) квадратичных вычетов, сравнимых с числами и квадратичных невычетов), если , то точно половина ненулевых элементов поля имеют квадратные корни (является квадратичными вычетами). Если  примитивный элемент поля, то все квадратичные вычеты задаются четными степенями элемента . Очевидно, что эти элементы также образуют группу, так как для них выполняются свойства группы, а именно:

вычетвычет = вычет; не вычетневычет = вычет; вычетневычет = невычет

1⁾ В этом разделе использованы материалы монографии Муттера В.М. Основы помехоустойчивой передачи информации  Л.: Энергоатомиздат. 1990.  282 с.