Нахождение минимальных многочленов.
Пусть минимальный многочлен элемента . В силу свойства М6
.
Поскольку все корни минимального многочлена являются сопряженными с корнем , то минимальный многочлен может быть определен через все свои разные корни в виде
.
В частности, для F
,
,
, (1)
,
.
Кроме того, минимальный многочлен элемента 0 равен x. В (1) многочлен второй степени имеет лишь два корня, так как сопряженный элемент , а минимальные многочлены определяются лишь различными (по определению) сопряженными элементами. Многочлен имеет инверсную по сравнению с структуру, так как образован обратными корнями , , , . Среди минимальных многочленов в этом поле x и являются многочленами первой степени (они же являются неприводимыми многочленами при построении поля ), многочлен второй степени является образующим для поля F , а многочлены , и четвертой степени образующие для поля F . Поэтому при расширении поля говорят о присоединении новых корней в расширении. Действительно, двучлен , например, может быть представлен в виде
.
Из представленных соображений вытекает еще одно свойство минимальных многочленов.
М7. Если i лежит в циклотомическом классе , то
. (2)
Более того, из теоремы 4, Л-2, РПЭК (Пусть ненулевые элементы поля GF(q); тогда , то есть ненулевые элементы поля GF(q) являются корнями обобщенного многочлена ) вытекает, что
,
где пробегает все множество представителей классов по модулю .
1 При формировании этой лекции использованы материалы из монографии Р. Блейхута. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. Под редакцией К. Щ. Зигангирова. М:, Мир, 1986, Стр 105-113.
2) Запишем , где . Тогда . Число всегда делится на . Последнее слагаемое меньше единицы и, следовательно, может быть целым только тогда и только тогда, когда