6. Практические примеры.

   1. Привязка систем координат.

Рассмотрим классическую задачу: имеется две системы координат. Требуется перейти из одной в другую. Слайд 15.

Заданы точки соответствия:

Требуется найти матрицу перехода

Матрица АП имеет 6 неизвестных коэффициентов. Это a, b, c, d и l, m. Соответственно, требуется решить 6 уравнений для их нахождения.

Чтобы получить и решить эти уравнения необходимо и достаточно иметь три точки, не лежащие на одной прямой. Установив соответствие между точками (x0 y0) <=> (x0* y0*) и т. д., будем искать такую матрицу перехода, чтобы подставив в неё точку из одной системы координат получить другую точку в нужном (известном, заданном) месте:

P = P' ∙ M,

А требуется найти матрицу преобразования М = ? = >

Составим уравнения преобразования заданных точек:

x₀ = x₀*a + y₀*c + l; x₁ = x₁*a + y₁*c + l

y₀ = x₀*b + y₀*d + m; y₁ = y₁*b + y₁*d + m и т. д.

Таких уравнений будет 6. Эти 6 уравнений можно решить в матричном виде умножив левую и правую части на обратную матрицу от Р' слева. Полная запись матриц для решения уравнений приведена на cлайде 16 и ниже в данном тексте.

Возникает вопрос – где это можно применить. Во-первых, можно определённо задать результат преобразования, т. е. в качестве известных величин будут координаты точек для обеих систем координат и необходимо определить коэффициенты матричного преобразования a, b, c, d, l и m, чтобы перейти в эту другую систему координат.

Во-вторых – имеется некоторое преобразованное изображение, но его необходимо поправить, отредактировать вполне определённым образом, т. е. задать в другой системе координат. В этом случае задача получит аналогичное решение.

2. Пример 2. Ворпинг

Ворпинг (Warping) – деформирование, искривление.

В компьютерной графике термин ворпинг определяют как искажение изображения, которое сопровождается геометрической деформацией отдельных частей картинки или изображения в целом.

Одна из целей ворпинга – синтезировать несуществующие изображения по какой-то стартовой основе (стартовому, заданному изображению) - слайд 18.

Представим такую задачу. Имеется некоторый прямоугольник (с изображением) и надо выполнить какое-то произвольное его видоизменение, преобразовать в четырехугольник, например – как показано на рис. ниже

Но есть проблема: с помощью АП можно выполнить изменение только треугольной области, т.к. АП сохраняет параллельность прямых и представить прямоугольник четырехугольником произвольной форм невозможно прямым преобразованием. Что здесь делать? Надо либо применить другое преобразование, либо применить АП, разбив прямоугольник на какие-то треугольники и видоизменять каждый из них отдельно. Видоизменять треугольники аффинным преобразованием мы умеем, т.к. каждый треугольник можно рассматривать как половинку параллелограмма. И таким образом можно модифицировать отдельные части изображения. Соответствующая иллюстрация приведена на рис. ниже

Итак, что можно сделать с прямоугольником? Если разбить его на 2 треугольника и один из этих треугольников преобразовать, то можно получить такое изображение (из слайда 19) .

Это аффинное преобразование треугольной области исходного прямоугольника и составленное новое изображение из преобразованного, принятого в качестве фрагмента этого нового изображения

.

Разбиение какой-то области на треугольники называют ТРИАНГУЛЯЦИЕЙ. Задавая координаты вершин треугольника можно получить его видоизменения. Прямоугольник из участка шахматной доски был разбит на 2 треугольника и к одному из них применили АП. В результате получили четырехугольник. Параллельность сторон в каждом из треугольников (частей соответствующих фантомных параллелограммов) сохранилась. Это хорошо, так как, например, при стыковке двух таких четырехугольников на стыке будут отсутствовать дефекты, потому, что каждая пограничная сторона имеет равновеликое разбиение, и сохранились расстояния между стыкуемыми точками. Сохранились и пропорции на каждом из стыкуемых участков. Но внутренность изображения подверглась неестественным изменениям, в частности растяжениям. Если взять прямоугольный растр и разбить его на треугольники, а затем каждый из треугольников подвергнуть преобразованию, модификации, то можно получать новые изображения с сохранением топологи растра и отсутствием дефектов на границах - «стыках» --треугольников

Область с изображением обезьяны (слайд 18) разбита на 6 прямоугольных зон. Каждую зону можно обработать последовательно за счет изменения координат узлов сетки разбиения, при этом пропорции по границам зон вдоль каждой из общих сторон треугольников (прямоугольников) будут соблюдены. «Если «потянуть» за узловую точку в том или ином направлении (см. рис. выше) происходит соответственно сжатие- растяжение или сдвиг точек изображения и возникают определенные эффекты, синтезируются новые несуществующие изображения. Происходит модификация растра в целом при сохранении его топологических границ.

Можно заменять координаты сетки, расстояния между точками, но топология и внутренняя структура разбиения (число узлов, количество зон) сохраняется в процессе преобразования изображения.

Ворпинг используют в киноиндустрии. В анимационных картинках, в рекламе, и т.п.