- •1. Некоторые сведения из механики композиционных материалов
- •1.1. Основные соотношения теории упругости гетерогенной анизотропной среды [1, 2, 3]
- •1.2. Некоторые определения и исходные предпосылки. Представительный элемент объема [4–14]
- •1.3. Эффективные определяющие соотношения
- •1.4. Алгоритм решения задач механики композитов
- •2. Преобразования симметрии в механике волокнистых композитов
- •2.1. Преобразования симметрии. Группы симметрии
- •2.2. Преобразования симметрии абсолютных тензоров четвертого, второго и первого рангов
- •2.3. Анизотропные тела и макроскопически анизотропные среды (принцип Неймана)
- •2.4. K вопросу о постановке граничных условий
- •2.5. Постановка граничных условий
- •2.6. Граничные условия в задаче о поперечном растяжении
- •2.7. Граничные условия в задаче о поперечном сдвиге
- •2.8. Граничные условия в задаче о продольном сдвиге
- •2.9. Энергетические соотношения
- •3. Эффективные физико-механические характеристики boлоkhиctых композитов. Алгоритмы
- •3.1. Определение эффективных модулей Юнга и коэффициентов Пуассона
- •3.2. Определение эффективных коэффициентов линейного температурного расширения
- •3.3. Определение эффективных коэффициентов теплопроводности
- •3.4. Определение эффективных модулей сдвига
- •4. Эффективные физико-механические характеристики волокнистых композитов. Численные результаты, сравнительный анализ
- •4.1. Макроскопически ортотропная трехфазная гетерогенная среда. Эффективные модули Юнга, коэффициенты Пуассона, коэффициенты линейного температурного расширения и модули сдвига
- •Основные параметры конечно-элементных моделей
- •4.3. Некоторые оценки и методы определения эффективных характеристик. Сравнительный анализ
- •4.4. Макроскопически ортотропная пятифазная гетерогенная среда. Эффективные коэффициенты теплопроводности
1. Некоторые сведения из механики композиционных материалов
1.1. Основные соотношения теории упругости гетерогенной анизотропной среды [1, 2, 3]
1.1.1. Дифференциальные уравнения равновесия. Граничные условия. Квазистатическая задача теории упругости в перемещениях для гетерогенной анизотропной среды заключается в решении трех дифференциальных уравнений равновесия относительно компонентов вектора перемещения:
, (1.1.1)
где r – вектор-радиус рассматриваемой точки; u – вектор перемещения; Ñ – набла-оператор Гамильтона; – тензор модулей упругости, тензор 4-го ранга; – вектор объемных сил; символ “٠” обозначает операцию свертки.
К системе уравнений (1.1.1), определяющих поведение тела в точках его объема V, добавляются условия на ограничивающей его поверхности S – кинематические, статические или смешанные граничные условия:
(1.1.2)
(1.1.3)
, (1.1.4)
где – заданный на границе вектор перемещения; – заданная на границе поверхностная нагрузка; n – единичный вектор внешней нормали к поверхности тела; в случае (1.1.4) поверхность S состоит из двух частей S1, S2.
Возможны также и комбинированные граничные условия, когда из трех равенств, которые должны быть заданы в каждой точке поверхности S, одно (два) формулируется в перемещениях, а два (одно) – в силах. Граничные условия такого рода будем называть кинематико-статическими.
1.1.2. Определяющие соотношения. В случае малых деформаций тензор деформации e выражается через вектор перемещения u соотношениями Коши:
(1.1.5)
где (¼)T – операция транспонирования; (¼)S – операция симметрирования.
Определяющие соотношения для линейной гетерогенной анизотропной упругой среды записываются в следующем виде (обобщенный закон Гука):
, (1.1.6)
где – тензор напряжений, ; – тензор упругих податливостей, тензор 4-го ранга, причем тензоры и взаимообратны.
Для композиционных материалов тензор упругих модулей и тензор упругих податливостей являются разрывными функциями координат. Для i-ой фазы композита в случае анизотропии общего вида тензор ( ) содержит 21 независимый компонент, для ортотропного тела тензор ( ) имеет 9 независимых компонентов, для трансверсально-изотропного тела – 5, для изотропного тела – 2 независимых компонента (например, постоянные Ламе).
В прямолинейной ортогональной системе координат 0Х1X2X3 рассмотрим ортотропное тело. Уравнения обобщенного закона Гука запишем в следующей форме:
(1.1.7)
В уравнениях (1.1.7) введены в рассмотрение “технические константы” упругости: Е1, E2, Е3 – модули Юнга при растяжении-сжатии в направлении ортогональных осей 1,2,3; G12, G23 , G31 – модули сдвига дня плоскостей, параллельных координатным; – коэффициенты Пуассона, характеризующие сокращение в направлении одной оси при растяжении в направлении другой (например, – коэффициент, характеризующий сокращение в направлении оси 2 при растяжении в направлении оси 1). Модули Юнга и коэффициенты Пуассона связаны равенствами:
(1.1.8)
Определяющие соотношения можно записать и так:
(1.1.9)
(1.1.10)
В несвязанных квазистатических задачах термоупругости определяющие соотношения имеют вид:
(1.1.11)
(1.1.12)
, (1.1.13)
где F – термодинамическая функция состояния, называемая свободной энергией; a – тензор коэффициентов линейного температурного расширения, тензор 2-го ранга; – перепад температуры; T0 , T – температура недеформированного и деформированного состояния.
Определяющие соотношения (1.1.11) называются соотношениями Дюамеля – Неймана.