- •Статистична фізика
- •Основні положення молекулярно-кінетичіюї теорії.
- •Основне рівняння мкт.
- •Рівняння стану ідеального газу.
- •Температура.
- •Фізичне значення температури t.
- •Основні поняття й означення.
- •Перший закон термодинаміки
- •Оборотні і Необоротні Процеси
- •Другий початок термодинаміки
- •Третій закон термодинаміки
- •Властивості ентропії
- •Мікроканонічний розподіл
- •Канонічний розподіл Гіббса
- •Термодинамічний зміст параметрів канонічного розподілу.
- •Розподіл Максвела
- •Розподіл Больцмана
- •Закон розподілу Максвелла-Больцмана як частинні випадки канонічного розподілу Гіббса
- •Розподіл Бозе-Ейнштейна для фотонного газу
- •Закони рівноважного випромінювання.
- •Кристалічні і аморфні тіла, класифікація кристалів за типом зв’язків.
- •Теплоємність кристалів.
- •Рідкі кристали.
Розподіл Больцмана
У відсутність зовнішніх сил середня концентрація n молекул газу в стані термодинамічної рівноваги усюди однакова. Якщо ж газ знаходиться в зовнішньому силовому полі, ситуація стає іншою. n = n0e-U/kT (2.36)
Цей закон і виражає розподіл Больцмана.
Швидкості руху молекул. До них відносяться три швидкості: найімовірніша vймов, середня v і середньоквадратична vкв.
Найімовірніша швидкість відповідає максимум функції розподілу Р(v). Ця швидкість визначається з умови dF/dv = О, звідки слідує
vймов = = (2.22)
Середня швидкість за визначенням
v = = = (2.23)
Середньоквадратична швидкість vкв = ; вона знаходиться з умови v2 = = 3 звідки vкв = =
Закон розподілу Максвелла-Больцмана як частинні випадки канонічного розподілу Гіббса
Розподіли Максвела і Больцмана є складовими частинами єдиного розподілу, званого розподілом Гіббса (це питання детально розглядається в спецкурсах по статистичній фізиці, і ми обмежимося тільки згадкою цього факту).
Обидва розібраних нами розподіли можна об'єднати в один закон розподілу Максвелла-Больцмана, згідно якому число dN молекул, проекції швидкості яких і їх координати лежать в інтервалах
(vx, vx + dvx), (vy, vy + dvy), (vz, vz + dvz)
(x, x + dx), (y, y + dy), (z, z + dz)
визначається виразом
dN = A exp dvxdvydvzdxdydz (2.41)
де нормуючий множник A = n0(m/2kT)3/2, v2 = vx2 + vy2 + vz2, U = U(x, y, z).
2.6
Частинки з напівцілим спіном, їх називають ферміонами; вони підкоряються статистиці Фермі-Дірака, У статистиці Фермі-Дірака в кожному квантовому стані може знаходитися не більш одна частинка (принцип Паулі), а в статистиці Бозе-Ейнштейна - будь-яке число частинок.
Квантові розподіли. Ці розподіли є функціями f(εi), що визначають середні числа частинок в одній фазовій комірці з енергією εi або функції заповнення комірок:
для ферміонів (4.2)
Тут μ - так званий хімічний потенціал (деяка характерна енергія, значення якої можна знайти з умови нормування: сумарне число частинок у всіх фазових комірках повинне бути рівне повному числу N частинок макросистеми).
1. Для ферміонів функція f(εi) не може бути більше одиниці, а для бозонів її значення може бути будь-яким (f ≥ 0).
2. Якщо f << 1, то в знаменниках розподілів можна нехтувати одиницею, і формула переходять в (4.4)
3. У макросистемі рівні енергії εi частинок квазінепреривні (розташовані дуже щільно). Тому індекс i у εi можна опустити.
4. Для бозонів значення м в (4.3) не можуть бути позитивними, інакше при εi < μ виявиться, що f < 0, а це позбавлено фізичного значення. Таким чином, для бозонів μ ≤ 0. У макросистем із змінним числом бозонів (до числа яких відносяться, наприклад, фотони) μ = 0, і формула (4.3) переходить в (4.5) Для ферміонів подібного обмеження не існує.
Розподіл Фермі-Дірака
для електронів в металі
Вільні електрони в металі. Електропровідність металів обумовлена, як відомо, наявністю в них електронів, які ми називаємо вільними. Вони не пов'язані з конкретними атомами і можуть практично вільно переміщатися в межах зразка. У першому наближенні вільні електрони можна розглядати як ідеальний газ з ферміонів в прямокутній потенційній ямі.
Перш за все розглянемо поведінку електронного газу при температурі Т = 0. В цьому випадку функція (4.2) приймає наступні значення:
f(ε ≤ μ) = 1, f(ε > μ) = 0 (4.9)
В ідповідний графік показаний на рис. 4,1, з якого видно, що заповнені всі стани з енергією е < м, а стани з е > м виявляються незайнятими.
Стани квантовані, і енергетичні рівні є дискретними, але розташовані настільки густо, що енергетичний спектр можна рахувати, як вже мовилося, квазібезперервним (див. задачу 4.2).
Питома теплоємність – це відношення кількості теплоти (Q), необхідної для нагріву тіла, до різниці температур (ΔТ) тіла і до його маси (m), тобто це така кількість теплоти, яка необхідна для нагріву 1 г речовини на один градус:
2.7
Частинки з цілим спіном - бозони; вони підкоряються статистиці Бозе-Ейнштейна.
У статистиці Фермі-Дірака в кожному квантовому стані може знаходитися не більш одна частинка (принцип Паулі), а в статистиці Бозе-Ейнштейна - будь-яке число частинок.
Квантові розподіли. Ці розподіли є функціями f(εi), що визначають середні числа частинок в одній фазовій комірці з енергією εi або функції заповнення комірок:
для бозонів (4.3)
Тут μ - так званий хімічний потенціал (деяка характерна енергія, значення якої можна знайти з умови нормування: сумарне число частинок у всіх фазових комірках повинне бути рівне повному числу N частинок макросистеми).
1. Для ферміонів функція f(εi) не може бути більше одиниці, а для бозонів її значення може бути будь-яким (f ≥ 0).
2. Якщо f << 1, то в знаменниках розподілів можна нехтувати одиницею, і формула переходять в
(4.4)
3. У макросистемі рівні енергії εi частинок квазінепреривні (розташовані дуже щільно). Тому індекс i у εi можна опустити.
4. Для бозонів значення м в (4.3) не можуть бути позитивними, інакше при εi < μ виявиться, що f < 0, а це позбавлено фізичного значення. Таким чином, для бозонів μ ≤ 0. У макросистем із змінним числом бозонів (до числа яких відносяться, наприклад, фотони) μ = 0, і формула (4.3) переходить в
(4.5)
Для ферміонів подібного обмеження не існує.