Глава 3. Векторная алгебра

Вектором называется направленный отрезок прямой. Из определения следует, что вектор имеет три характеристики: прямую на которой он лежит, направление по прямой и длину. Первые две характеристики объединяются одним понятием – направление. Обозначаются вектора по точкам начала и конца АВ или . Различают три вида векторов: свободные вектора, которые не меняются при параллельном переносе, вектора, которые можно переносить только по прямой на которой они лежат (например, вектора сил в механике) и радиус вектора, начало которых всегда находится в начале координат. Мы будем рассматривать только свободные вектора. Свободные вектора называют равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину (рис 3.1), т. е. параллельный перенос вектора не меняет. Свободные вектора обозначают одной буквой или а, b и т. д. Длину вектора обозначают при помощи модульных скобок =  а = а.

Вектора складывают по правилу параллелограмма: совмещают концы векторов, строят на векторах как на сторонах параллелограмм; суммой векторов называют вектор диагонали исходящий их общего начала a + b = c (рис.3.2). Вектора можно складывать и по правилу треугольника (рис. 3.3). Правило треугольника можно применить к сумме любого числа векторов (рис 3.4)

Рис. 3.2. Рис. 3.3.

Сложение векторов

Рис. 3.1

Умножение вектора на число λ идет по следующему правилу: при умножении на положительное число направление вектора сохраняется, при умножении на отрицательное – меняется на противоположное, а длина определяется по правилу (рис 3.5).

λ а  = а (3.2)

По определению a - b = a + (-1)b.

Рис. 3.4

Сложение нескольких векторов

Рис. 3.5.

Умножение вектора на число

Проекцией вектора на ось ОХ называется число равное разности координат проекций конца и начала вектора

pr_OXAB = x₂ – x ₁= AB cos(α), (3.6)

где α - угол между вектором и осью (рис. 3.6).

Аналогично можно ввести проекцию вектора на оси OY и OZ:

pr_OYAB = y₂ – y₁= ABcos(β) (3.6)

и

pr_OZAB = z₂ – z₁= ABcos(γ) , (3.7)

где β и γ углы между вектором АВ и осями OY и OZ. Косинусы углов cos(α), cos(β) и cos(γ) называют направляющими косинусами

cos²(α)+cos²(β)+cos²(γ) = 1. (3.8)

Рис. 3.6.

Проекция вектора на ось ОХ

Рис. 3.7.

Разложение вектора АВ на сумму векторов, параллельных осям координат.

Если ввести i, j и k - единичные вектора осей ОХ, OY и OZ (их называют ортами), то вектор

A₁B₁ = i(x₂ – x₁), A₂B₂ = j(y₂ – y₁) и A₃B₃ = k(z₂ – z₁). (3.9)

По правилу сложения векторов (рис. 3.7):

AB = A₁B₁ + A₂B₂ + A₃B₃ = i(x₂ – x₁) + j(y₂ – y₁) + k(z₂ – z₁) ≡{(x₂ – x₁), (y₂ – y₁), (z₂ – z₁)}.

Равенство

AB = {(x₂ – x₁), (y₂ – y₁), (z₂ – z₁)} (3.10)

называется «запись вектора в форме проекций».

Операции с векторами a, b заданными в форме проекций идут по следующему правилу:

a = {x₁, y_1, z₁)}; b = {x₂, y₂, z₂}

a + b ={ (x₁+x₂), (y₁ + y₂), (z₁ + z₂)}; (3.11)

λa = {λx₁, λ y₁, λz₁}. (3.12)

Скалярным произведением векторов a = {x₁, y_1, z₁)}; b = {x₂, y₂, z₂} называют число равное произведению длин векторов на косинус угла между ними

а  b = (a,b) = a · b cos(a, b) = x₁ x₂ + y₁ y₂ + z₁z₂. (3.13)

Скалярное произведение перестановочно: аb=bа. Если вектора перпендикулярны, то скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов используют для определения длины вектора

а  a = x₁x₁+ y₁y₁ + z₁z₁ = x₁²+ y₁² + z₁²  a = (3.14)

Замечание: скалярное произведение обозначается знаком .

Пример. Найти угол φ между векторами и , если М₁(1, -2, -3), М₂(-3, 1, 1), М₃(3, 2, 2).

Решение. Для нахождения cosφ используем формулу

где - скалярное произведение векторов и .

Определим координаты векторов и cosφ:

= (-3-1, 1+2, 1+3) =(-4, 3, 4), = (3-1, 2+2, 2+3) = (2, 4, 5),

,

φ = 87⁰45'54^".

Векторным произведением векторов a и b называют такой вектор c = a  b, который:

1. лежит на прямой перпендикулярной плоскости векторов a и b,

2. имеет длину численно равную произведению длин векторов на синус угла между ними

c  = a · b sin(a, b) = a · b  sin(φ),

3. направление вектора c определяется по правилу буравчика: если вращать рукоять буравчика от первого вектора ко второму по наименьшему углу, то поступательное движение буравчика показывает направление вектора c.

Рис. 3.8.

Векторное произведение векторов

Векторное произведение единичных векторов осей координат - ортов i, j, k равно

k = i  j, i = j  k, j = k  i. (3.15)

Векторное произведение не перестановочно: a  b = - b  a. Для коллинеарных векторов (лежащих на одной прямой) векторное произведение равно нулю a  b = 0, если a b. Для векторов заданных в форме проекций

с = a  b = = i (y₁z₂ – y₂z₁) - j ( x₁z₂ – z₁x₂) + k ( x₁y₂ – x₂y₁). (3.16)

Длина вектора векторного произведение численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах: S = a  b sin(φ).

Замечание: векторное произведение обозначается знаком .

Смешанным произведением векторов a, b и c называется векторно-скалярное произведение

a b  c = a  b  c  a b c = , (3.17)

т. е. два вектора (первый – второй или второй – третий) перемножаются векторно, а третий вектор умножают на результат векторного произведения скалярно. В записи смешанного произведения знаки произведений обычно опускают. Смешанное произведение равно нулю, если векторы компланарны (лежат в одной плоскости). Смешанное произведение используют для вычисления объема параллелепипеда и пирамиды, построенной на векторах a, b, c.

V_пар =  a b c ; V_пир =  a b c .

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А₁(1, -2, -3), А₂(-3, 1, 1), А₃(4, 3, -1), А₄(3, 2, 2). Найти площадь грани А₁ А₂ А₃ и объем пирамиды.

Решение. Площадь треугольника А₁А₂А₃ найдем, используя геометрический смысл векторного произведения векторов

,

где - векторное произведение векторов.

Вначале находим

,

а затем

ед².

Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов

,

следовательно, ед³.

16