Заняття 15 – 17

Тема: Необхідні і достатні умови для того, щоб корені квадратного тричлена належали певному інтервалу відносно чисел m і n на числовій прямій.

1. Необхідні і достатні умови для того, щоб корені квадратного тричлена були більшими m

2. Необхідні і достатні умови для того, щоб корені квадратного тричлена були меншими m

3. Знаходження умови належності коренів квадратного тричлена певному інтервалу залежно від значення параметра.

Вправа 36. При яких значеннях параметра корені рівняння більші числа 10.

Розв’язання:

При рівняння рівносильне такому рівнянню:

. Звідки

, .

Тепер необхідно перевірити, чи немає таких значень , при яких один з одержаних коренів дорівнює 2. Виявляється, що таке значення є. В цьому легко переконатися, якщо підставити в рівняння значення . При цьому одержуємо .

Другий розв’язок в цьому випадку дорівнює при , тобто Отже, при початкове рівняння має один розв’язок

При і рівняння має два розв’язки: . Ці розв’язки дійсні при і при . При рівняння немає змісту.

Корені рівняння, що більші числа 10:

1) при

2) При і рівняння має розв’язки , тобто розв’яжемо нерівності:

і . Звідки:

при справджується нерівність

при справджується нерівність

Вправа 37. Знайти значення а, при якому один з коренів рівняння в два рази менший від одного з коренів рівняння

Вправа 38. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких корені рівняння належать інтервалу .

Нехай . , .

Якщо , то .

Якщо , то задача рівносильна виконанню умов:

Відповідь: .

Вправа 39. При яких значеннях параметра а корені рівняння розташовані в інтервалі (-1;1)?

Задача зводиться до розв’язання системи нерівностей: Відповідь:

Завдання для самоперевірки з вибором правильної відповіді:

Вправа 40. Розв’язати при всіх а рівняння

Вибрати правильну відповідь:

Вправа 41. Розв’язати при всіх а рівняння

Вибрати правильну відповідь:

Вправа 42. Розв’язати при всіх а рівняння

Вибрати правильну відповідь:

Вправа 43. Розв’язати при всіх а рівняння

Відповідь:

Вправа 44. Розв’язати при всіх а рівняння

Відповідь:

Розв’язування квадратних рівнянь з параметрами (з перебором)

Вправа 45. Розв’язати при всіх а рівняння

Дослідимо рівняння на існування розв’язків. Зручно знайти одну четверту частину дискримінанта . В залежності від значень параметра а можливі три випадки:

Випадок 1.

Випадок 2.

Випадок 3.

Відповідь.

Вправа 46. Розв’язати при всіх b рівняння

Знайти одну четверту частину дискримінанта . Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа завжди є невід’ємним числом, то дискримінант буде додатнім числом при довільних значеннях параметра b. Отже, рівняння завжди буде мати два дійсних корені. Знайдемо їх:

Відповідь.

Вправа 47. Розв’язати при всіх р рівняння

Дослідимо значення дискримінанта В залежності

від значення дискримінанта можливі три випадки:

Випадок 1.

Випадок 2.

Випадок 3.

Відповідь.

Вправа 48. Розв’язати при всіх а рівняння

В залежності від значення параметра а ми отримуємо різні рівняння. Якщоа=0, то рівняння стає лінійним, якщо рівняння стає квадратним. В цьому випадку кількість розв’язків залежить від значення дискримінанта:

. Дискримінант приймає значення 0, якщо 1+4а=0, при цьому .

та а=0 на координатній прямі а. В залежності від значення а треба розібрати 5 можливих випадків:

Випадок 1.

Випадок 2.

Випадок 3.

Випадок 4.

Випадок 5.

Відповідь.

Задачі для закріплення вивченого матеріалу

Вправа 49. Розв’язати при всіх b рівняння

Вибрати правильну відповідь.

Вправа 50. Знайти всі а, при яких рівняння має рівно два різних кореня.

Вибрати правильну відповідь.

Вправа 51. Знайти всі р, при яких рівняння має рівно два різних кореня.

Вибрати правильну відповідь.

Вправа 52. Знайти всі а, при яких рівняння має рівно два різних кореня.

Вибрати правильну відповідь.

Вправа 53. Знайти всі а, при яких рівняння має рівно два різних кореня і відстань між ними 3.

Вибрати правильну відповідь

Контрольні завдання

Вправа 54. Знайти всі р, за яких рівняння має рівно 2 різних кореня

Відповідь.

Вправа 55. Знайти всі а, при яких рівняння має рівно два різних кореня і відстань між ними дорівнює 1.

Відповідь.