4. Оценка безубыточного объема производства

При продаже изделия по цене Pр (руб.) c учетом НДС на руки мы получим сумму

Pп = Pр – Нд, (5)

или, учитывая соотношение (4),

Pп = (1 – Кд ) Pр + Кд хм / (1+ Кд ) . (6)

По формуле 5 Pп = 155 – 18,61 = 136,39 (тыс.руб.)

Определим объем производства Vр , при котором предприятие при существующих издержках на производство единицы изделия С, будет безубыточно. Это будет иметь место, если вырученные от реализации единицы продукции денежные средства в количестве Pп будут равны себестоимости С, т. е. Pп = С. Это точка пересечения кривой издержек C=C(V) и прямой, задаваемой выражением (6). Учитывая формулу (2), получим

Vр = хп / (Pп – хо) . (7)

Vр = 1215 / (136,39 - 60) ≈ 16 (кол-во/месяц)

Точка V = Vр — точка безубыточности, т.е. V = 16

Если ежемесячный объем производства и реализации продукции V будет меньше, чем 16, то дело убыточное и мы не сможем скомпенсировать свои затраты. Если V = 16, то убытка производство не принесет (можно скомпенсировать свои затраты и выплатить предусмотренную зарплату своим сотрудникам), но дополнительной прибыли мы также не получим. В случае же, когда V > 16, у нас будет еще и некоторая прибыль.

5. Оценка будущей прибыли

Допустим, что спрос на товар высокий и мы продаём его по рыночной цене Pр, превышающей полную себестоимость C, т.е. получаемая нами сумма Pп больше, чем C (Pп >C). В этом случае у вас образуется прибыль. В соответствии с действующим законодательством за полученную прибыль мы обязаны платить налог на прибыль, т.е. разность Pп – C не будет еще вашим дополнительным доходом или чистой прибылью. Из этой суммы необходимо уплатить налог на прибыль.

Пусть Kп - ставка налога на прибыль (20%). Тогда величина налога на прибыль составит

Нп = Kп (Pп – С ) (8)

и наша прибыль на единицу изделия Р п будет равна

Рпр = (1 – Kп ) (Pп – С ) (9)

Рпр = (1 – 0,2 ) (136,39– (60+1215/V) )

Рпр =61,35-972/V

Полная прибыль Pv от реализации продукции в объеме V равняется

Pv= V Pпр . (10)

Pv= V *(61,35 - 972/V)

Pv= 61,35V-972

6. Оценка окупаемости инвестиций

В предыдущих расчетах не были учтены первоначальные капиталовложения на организацию производства. Эти капиталовложения (как и капиталовложения на расширение производства) часто называются инвестициями.

Пусть Yи (руб.) – размер ваших первоначальных инвестиций, например, затраты на приобретение помещения, станков, инструментов и другие необходимые покупки. Они не вошли в себестоимость изделия. Рассмотрим, как можно оценить срок окупаемости этих инвестиций.

1. Для окупаемости первоначальных инвестиций наше предприятие должно быть прибыльным. Это возможно при среднемесячном объеме производства и реализации V, превосходящем точку безубыточности Vр. Если условие V > Vр выполняется, то наши первоначальные расходы Yи окупятся через время Т1 (мес.), определяемое по формуле

Т1 = Yи / (V Pпр) , (11)

Т1 = 3000 / (61,35V - 972)

где Pпр определили из (9). Величину Т1 можно понимать и как время (измеряемое, например, в месяцах), необходимое для накопления суммы денег Yи .

2. Рассмотрим теперь случай, когда вы решили модернизировать уже действующее производство. Допустим, что раньше вы регулярно выпускали V изделий в месяц при полной себестоимости одного изделия С (2). Производство приносило прибыль Pпр (9). Вы решили расширить свое производство путем инвестиций (капитальных вложений) на сумму Yи , например, приобрести новое оборудование, помещение, расширить сбыт или ввести какие-нибудь другие улучшения.

Через какое время окупятся капитальные вложения Yи,?

Поскольку изменилось все производство и условия сбыта готовой продукции, то изменятся, вообще говоря, все расходы. Пусть после модернизации величина хо, представляющая расходы на материалы, покупные изделия, на сдельную оплату труда и т.д. стала равной хои = 20 тыс.руб. (в том числе, затраты на материалы хми = 17 тыс.руб. ). Постоянные ежемесячные расходы хп стали равными хпи = 1800 тыс.руб. . Соответственно, количество выпускаемой продукции ежемесячно V стало равной Vи =.rV.

Vи =.2,5*V

Тогда, согласно формулам (2), (6) и (9), новая прибыль Рпри будет равняться

Рпри =(1 – Kп) [(1 – Кд) Pр+Кд хми/(1+ Кд) – хои – хпи/Vи] , (12)

Рпри =(1 – 0,2) [(1 – 0,18) 155 + 0,18*20/(1+ 0,18) – 25 – 1000/(2,5*V)]

Рпри = 84 - 320/V

если вся продукция в количестве Vи будет реализована. Тогда время окупаемости Т2 определится по формуле

Т2 = Yи / (Vи Pпри) (13)

Т2 = 3000 / (2,5*V*(84 - 320/V))

Т2 = 3000/(210V - 800)

3. Но Т2 - это время окупаемости затрат Yи не только за счет сделанных капиталовложений и соответственного увеличения прибыли. Оно зависит также и от состояния производства до модернизации. Действительно, мы и раньше получали прибыль с одного изделия, которая равнялась Pпр. Увеличение прибыли за один месяц только за счет инвестиций равняется разности (Vи Pпри– V Pпр), поэтому для определения срока окупаемости только за счет выигрыша от инвестиций получим выражение

Т3 = Yи / (Vи Pпри- V Pпр) (14)

Т3 = 3000 / ((210V - 800)- (61,35V -972))

T3 = 3000/(148,65V – 172)

Итак, для значений V1 = 0.5Vр , V2 = 0.8Vр , V3= Vр , V4 = 1.5Vр , V5 = 2Vр , V6 = 2.5Vр, где Vр = 15 найдём себестоимость изделия, прибыль от одной единицы изделия, прибыль от всей партии, время окупаемости первоначальных инвестиций, время окупаемости инвестиций на модернизацию производства, время окупаемости за счёт выигрыша инвестиций, сведём полученные данные в таблицу 2

Построим графики зависимостей:

1. С(V) = 60 + 1215/V

2. Рпр(V)=61,35 - 972/V

3. P*V= 61,35V - 972

4. Т1(V)= 3000 / (61,35V - 972)

5. Т2(V) = 3000/(210V - 800)

6. T3(V) = 3000/(148,65V – 172)

Графиками 1,2,4,5,6 функций является гипербола, графиком 3 функции является прямая

Таблица 2

V	8	12,8	16	24	32	40
C(V)	209,88	152,92	133,94	108,63	95,97	88,38
Рпр(V)	-64,04	-18,48	-3,29	16,96	27,09	33,16
Pv(V)	-512,32	-236,51	-52,64	407,04	866,72	1326,40
T1(V)	-5,86	-12,68	-56,99	7,37	3,46	2,26
T2(V)	3,47	1,61	1,19	0,71	0,51	0,40
T3(V)	2,90	0,82	0,64	0,41	0,30	0,24

Рисунок 1

По графикам видно, что с увеличением объёма производства себестоимость снижается, а прибыль на единицу изделия увеличивается, следовательно, предприятию выгодно увеличивать объём производства.

Рисунок 2

Рисунок 2 показывает, что прибыль от всей партии увеличивается линейно при увеличении объёма выпускаемой продукции.

Рисунок 3

Рисунок 4

Рисунок 5

Во всех случаях при увеличении объёма производства время окупаемости инвестиций уменьшается.

Лабораторная работа №2

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

И ЕЕ ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

Цель работы: построение математической модели и решение оптимизационной задачи линейного программирования.

Нередко на практике возникают задачи оптимизации какого-либо процесса по выбранному критерию. В данной работе рассматривается задача построения математической модели и её оптимизация графическим методом линейного программирования.

Постановка задачи.

Рис.1

Небольшое предприятие (рис.1) выпускает два вида изделий Е и I. Продукция обоих видов поступает в продажу. Для производства требуется два исходных продукта – А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов на складе предприятия составляют b₁ и b₂ соответственно.

Расходы продуктов А и В на единицу соответствующего изделия приведены в табл.1.

Таблица 14

Исходный продукт	Расход исходного продукта на единицу изделия		Максимально возможный запас
	Е	I
А	0,9	2,2	6,2
В	2,3	0,9	8,3

Цена одной единицы изделия Е равна 3,5 и 4 для I.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на изделие I никогда не превышает спроса на изделие Е более чем на 1. Кроме того установлено, что спрос на изделие I никогда не превышает 2,1.

Каков должен быть объем производства каждого вида изделия в сутки, чтобы доход от реализации был максимальным?

Построение математической модели.

Процесс построения математической модели для решения поставленной задачи можно начать с ответов на три следующих вопроса:

1. Для определения каких величин должна быть построена модель? Другими словами, как идентифицировать переменные (искомые величины) данной задачи.

2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия и ограничения, характерные для данной задачи?

3. В чем состоит цель решения задачи, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

Предприятию требуется определить суточные объемы производства каждого изделия, максимизирующие доход от реализации продукции с учетом ограничений на спрос и расход исходных продуктов.

Переменные.

Х_e - суточный объем производства изделия Е.

X_i - суточный объем производства изделия I.

Целевая функция.

D = D_e+D_j =3,5 X_e + 4 Х_i –доход. от производства и сбыта изделия Е и I.

Необходимо определить такие X_e и Х_i , при которых совокупный доход D достигает максимума.

Ограничения.

При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход исходных продуктов A и B и ограничения по спросу на изготовляемые изделия E и I.

Ограничения на расход исходных материалов запишем следующим образом:

Принимая во внимание обозначения, принятые в табл.1 запишем ограничения на суточные расходы исходных продуктов:

a _{l l} * X_e + а₁₂ Х_i ≤ b₁ 0,9* X_e + 2,2 Х_i ≤ 6,2- для продукта А

a _{2 l} * X_e + а₂₂ Х_i ≤ b₂ 2,3* X_e + 0,9 Х_i ≤ 3,3 - для продукта В

Изложенные выше ограничения на спрос запишутся в виде:

Х_i - X_e ≤ b₃

Х_i ≤ b₄

Кроме того, переменные X_e и Х_i по своему смыслу не могут быть отрицательными:

1. Итак, выпишем математическую модель поставленной задачи.

Целевая функция:

Ограничения:

Требуется максимизировать значение целевой функции (т.е. доход).

2. Построить область допустимых решений АБВГДЕ в пространстве параметров X_e, Х_i., для этого построим прямые (найдём координаты точек графиков):

Первое ограничение

Хе	0	6,8
Хi	2,8	0

_{Второе ограничение}

Хе	0	3,6
Хi	9,2	0

_{Третье ограничение}

Хе	0	1
Хi	1	2

- прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку (0;2,1).

- прямая, совпадающая с осью ординат.

- прямая, совпадающая осью абсцисс

3. Построим график целевой функции, пусть D =14,5 (график изображён пунктирной линией)

3 X_e + 4 Х_i = 14,5

Хе	0	4
Хi	3	0

Будем параллельно перемещать вправо график целевой функции до пересечения с последней вершиной многоугольника АБВГДЕ. При подстановке координат этой вершины в целевую функцию доход от производства и сбыта изделия Е и I будет максимальный, по графику видно, что это точка Д.

Найдём координаты вершины Д многоугольника, решив систему уравнений:

Д: решением системы является пара чисел (3; 1,6)

Подставим найденные значения в целевую функцию:

Решим задачу, используя симплекс - метод, для этого найдём координаты всех вершин многоугольника АБВГДЕ, подставим координаты точек в целевую функцию и выберем максимальное значение D:

А(0;0) Б(0;1) Д(3;1,6) Е(3,6;0)

В: решением системы является пара чисел (1;2,)

Г: решением системы является пара чисел (2;2)

Занесём полученные значения в таблицу

Таблица 2

3 X_e + 4 Х_{i =} D

Узлы ОДР	Xe	Хi	D
А	0	0	0
Б	0	1	4
В	1	2	11
Г	2	2	14
Д	3	1,6	15,4
Е	3,6	0	10,8

Вывод: Прибыль будет максимальной D_max = 15.4 при выпуске объёма продукции Е=3 , I=1,6.

Х_i

9.2

8

6.8

D1

2.8

2

В

Г

D

Б

1

А

Е

2.8

3.6

6.8

X_e

Лабораторная работа №4

ПОСТРОЕНИЕ ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Цель работы: изучение способа построения имитационной модели сложной системы по результатам полного факторного эксперимента. Анализ точности полученных моделей.

Требуется:

1. записать матрицу планирования ПФЭ типа 2³ с учетом перекрестных связей между факторами;

2. по результатам ПФЭ составить линейную имитационную модель исследуемой системы у_л=Ф_л(х₁,х₂,х₃);

3. по результатам ПФЭ составить полную нелинейную имитационную модель исследуемой системы у_нл=Ф_нл(х₁,х₂,х₃);

4. рассчитать значения функции у по линейной и нелинейной модели и сравнить их результатами эксперимента;

5. для нелинейной модели применить метод всех регрессий;

6. сделать выводы о степени точности полученных моделей.

Исходные данные

Номер варианта	у1	у2	у3	у4	у5	у6	у7	у8
3	-5	-2	-7	5	3	9	11	-3

Это исходные данные для ПФЭ типа 2³ (т.е. k=3)

Метод решения

1. Значения факторов в имитационном эксперименте. Планирование эксперимента – это процедура выбора количества и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи получения регрессионной модели системы с требуемой точностью. Для дальнейшего изложения методики получения РМ сложных систем, воспользуемся моделью «черного ящика» (ЧЯ), с которым мы и будем проводить имитационные эксперименты.

х₁

у₁

Стрелки изображают численные характеристики целей исследования. Их называют параметрами оптимизации или выходами «черного ящика».

х₂

у₂

Ч.Я.

х_к

y_N

Рис. 1

Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение системы. Все способы таких воздействий обозначим Эти входные воздействия x_j называются факторами или входами «черного ящика».

Задача планирования эксперимента возникает в связи с необходимостью построения имитационной или регрессионной модели (РМ) исследуемой системы. Под РМ понимается уравнение, связывающее параметр оптимизации с входными факторами системы. В общем виде это уравнение можно записать так:

(1)

Функция φ называется функцией отклика системы.

Каждый фактор x_j может принимать в опыте одно или несколько значений. Такие значения будем называть уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний системы («черного ящика»). Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов.

Пусть на предварительных этапах исследования установлена область изменения факторов x_j :

(2)

и координаты нулевого (основного) уровня

(3)

которые должны лежать внутри области изменения (или определения) факторов. Построение плана имитационного эксперимента сводится к выбору экспериментальных значений факторов x_j, симметричных относительно центра эксперимента x_j0 (основного уровня). Для каждого фактора выберем два уровня (верхний и нижний), которые он будет принимать в эксперименте. Для этого зададимся интервалом варьирования факторов.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровни фактора.

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных введем нормированные значения факторов так, чтобы верхний уровень соответствовал значению +1, нижний –1, а основной имел нулевое значение (см. рис.2), т.е.:

(4)

где – нормированное значение фактора;

– натуральное значение фактора;

– натуральное значение основного уровня;

– интервал варьирования j-го фактора;

j

-1

+1

0

– номер фактора,

-+\

Натуральное значение фактора

Нормированное значение фактора

Рис.2

Для качественных факторов, имеющих два уровня, один уровень обозначается +1, а другой –1.

На выбор величины интервалов варьирования накладываются естественные ограничения. интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует значение фактора. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровень фактора оказались за пределами области определения.

Если интервал варьирования выбирать достаточно малым и считать, что каждый фактор принимает только два значения, соответствующих верхнему и нижнему уровню:

(5)

то методика решения поставленной задачи построения РМ значительно упрощается. Но при этом возможно сильное увеличение размерности задачи.

При решении задачи оптимизации для первой серии экспериментов стремятся выбрать такую подобласть, которая давала бы возможность пошагового движения к оптимуму. В задачах же интерполяции интервал варьирования охватывает всю область определения фактора.

Таким образом, вся область определения факторов разбивается на ряд интервалов. Полученные для каждого интервала решения (уравнения регрессии) «сшиваются» между собой за счет приравнивания граничных условий в местах стыковки соседних интервалов.

2. Полный факторный эксперимент. Полный факторный эксперимент (ПФЭ) – это эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания факторов.

Если число значений каждого фактора равно двум (x_j= ±1), то мы имеем ПФЭ типа . Тогда, число опытов N , необходимое для реализации всех возможных сочетаний значений k – факторов, определяется по формуле

В табл.1 представлена матрица планирования ПФЭ для двух факторов.

Т а б л и ц а 1 Т а б л и ц а 2

Условия опыта			Результаты опыта
Номер опыта			y
1 2 3 4	+1 –1 +1 –1	+1 +1 –1 –1	y1 y2 y3 y4

Номер опыта				y
1 2 3 4 5 6 7 8	+1 –1 +1 –1 +1 –1 +1 –1	+1 +1 –1 –1 +1 +1 –1 –1	+1 +1 +1 +1 –1 –1 –1 –1	y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

Для построения матриц планирования ПФЭ с большим числом факторов, чтобы запланировать все возможные реализации факторов, можно использовать правило чередования знаков. Для первого фактора знаки меняются поочередно. Для второго они чередуются через два, для третьего – через четыре, для четвертого – через восемь и т.д. по степеням двойки. Как это выглядит для ПФЭ типа показано в табл.2.

3. Полный факторный эксперимент и уравнение регрессии.

Применение методики ПФЭ позволяет достаточно просто и эффективно количественно оценить все линейные эффекты факторов и их взаимодействия («перекрестные связи»). взаимодействие возникает в том случае, если эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. Вначале рассмотрим методику получения линейной РМ.

Линейная регрессионная модель. Уравнение регрессии – это формула статистической связи между зависимыми и независимыми переменными. Если это уравнение линейное, то речь идет о линейной регрессии. Формула статистической связи двух переменных называется парной регрессией, зависимость от нескольких переменных – множественной регрессией.

Установление формы связи (6) начинают, как правило, с рассмотрения линейной регрессии вида

. (6)

Целью исследователя является определение неизвестных коэффициентов линейной модели (6) по результатам эксперимента (по матрице ПФЭ

Используя метод наименьших квадратов (МНК) для линейной РМ получим простую формулу

(7)

где индекс относится к фиктивному фактору который во всех опытах принимает значение +1, т.е. и вводится для удобства пользования формулой (7).

Нелинейная регрессионная модель. Если при проверке гипотезы о линейности РМ устанавливается, что статистический материал (или результат ПФЭ) не может быть описан линейным уравнением, то переходят к поиску нелинейной модели. Пользуясь результатами ПФЭ можно достаточно просто построить нелинейную модель, включающую эффекты взаимодействия («перекрестные связи») факторов: парные ( ), тройные ( ) и т.д. К сожалению, для других видов нелинейностей простой способ построения РМ на основе матрицы ПФЭ типа 2^k не проходит и следует использовать другие более сложные методы, основанные на использовании нелинейного регрессионного анализа.

Максимальное число всех возможных эффектов (всех членов уравнения регрессии, включая ), линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, можно определить по формуле числа сочетаний

где k – число факторов, m – число элементов во взаимодействии, N – количество опытов в эксперименте (число строк в матрице планирования ПФЭ).

Для определения коэффициентов в модели при парных взаимодействиях надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов. Для вычисления коэффициента при соответствующем эффекте взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с вектор-столбцом любого фактора.

В табл. 3 представлена матрица планирования ПФЭ типа 2² с учетом перекрестных связей между факторами.

Т а б л и ц а 3

Номер опыта					y
1 2 3 4	+1 +1 +1 +1	+1 –1 +1 –1	+1 +1 –1 –1	+1 –1 –1 +1	y1 y2 y3 y4

Полная нелинейная РМ в данном случае имеет следующий вид:

(8)

Коэффициент вычисляется по прежней формуле (7):

(9)

Для определения коэффициентов в РМ при тройных взаимодействиях и взаимодействиях более высокого порядка поступают аналогично.

4. Методы упрощения уравнения регрессии. При построении РМ для целевой функции у на начальном этапе обычно стараются учесть как можно большее число факторов, влияющих на изменение у. В этом случае часто получаются неоправданно сложные модели, особенно при использовании нелинейных форм. эти модели можно значительно упростить, если выявить те факторы, которые незначительно влияют на функцию отклика, и исключить эти факторы из уравнения регрессии.

При отборе влияющих факторов используются статистические методы отбора. Так, существенного сокращения числа влияющих факторов можно достичь с помощью пошаговых процедур отбора переменных. Ни одна их этих процедур не гарантирует получения оптимального набора переменных. Однако при практическом применении они позволяют получить достаточно хорошие наборы существенно влияющих факторов.

Метод всех регрессий. В этом методе функцию отклика представляют в виде комбинаций зависимостей, в которых меняют число факторов. Так для уравнения регрессии

можно записать функцию отклика в различных комбинациях:

Для каждого уравнения вычисляются коэффициенты регрессии и определяется дисперсия адекватности , по наименьшему значению которой и выбирается лучшая РМ. Однако, применение этого метода связано с трудоемкими вычислениями.

РЕШЕНИЕ

Запишем матрицу планирования ПФЭ типа 2³ с учетом перекрестных связей между факторами:

Таблица 4.

№ опыта	х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	уэкс-т
1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	-5
2	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-2
3	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	-7
4	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	5
5	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	3
6	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	9
7	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	11
8	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	-3

По результатам ПФЭ составим линейную имитационную модель исследуемой системы:

общий вид

у_л=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃

определим коэффициенты линейной модели по формуле (7)

Линейная имитационная модель будет иметь вид:

у_л=1,375-0,875x₁-0,125x₂-3,625x₃

Рассчитаем значения функции у по линейной модели:

у_л¹=1,375-0.875*(+1)-0,125*(+1)-3,625*(+1)= -3,25;

у_л²=1,375-0.875*(-1)-0,125*(+1)-3,625*(+1)= -1,5;

у_л³=1,375-0.875*(+1)-0,125*(-1)-3,625*(+1)= -3;

у_л⁴=1,375-0.875*(-1)-0,125*(-1)-3,625*(+1)= -1,25;

у_л⁵=1,375-0.875*(+1)-0,125*(+1)-3,625*(-1)= 4;

у_л⁶=1,375-0.875*(-1)-0,125*(+1)-3,625*(-1)= 5,75;

у_л⁷=1,375-0.875*(+1)-0,125*(-1)-3,625*(-1)= 4,25;

у_л⁸=1,375-0.875*(-1)-0,125*(-1)-3,625*(-1)= 6;

Найдем отклонения между у_л и у^экс-т по формуле ε= |у_л - у^экс-т|

ε₁=|-3,25+5|=1,75;

ε₂=|-1,5+2|=0,5;

ε₃=|-3+7|=4;

ε₄=|-1,25-5|=-6,25;

ε₅=|-4-3|=1;

ε₆=|5,75-9|=-3,25;

ε₇=|4,25-11|=-6,75;

ε₈=|6+3|=9.

По результатам ПФЭ составим полную нелинейную имитационную модель исследуемой системы

общий вид

у_нл=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+b₁₂x₁x₂+b₁₃x₁x₃+b₂₃x₂x₃+b₁₂₃x₁x₂x₃

определим коэффициенты нелинейной модели по формуле (7):

b₀=1,375;

b₁=-0,875;

b₂=-0,125;

b₃=-3,625;

Нелинейная имитационная модель будет иметь вид:

у_нл=1,375-0,875x₁-0,125x₂-3,625x₃-1,375x₁x₂-2,875x₁x₃-1,125x₂x₃+3,625x₁x₂x₃

Рассчитаем значения функции у по нелинейной модели:

у_нл¹=1,375-0.875-0,125-3,625-1,375-2,875-1,125+3,625=-5;

у_нл²=1,375+0.875-0,125-3,625+1,375+2,875-1,125-3,625=-2;

у_нл³=1,375-0.875+0,125-3,625+1,375-2,875+1,125-3,625=-7;

у_нл⁴=1,375+0.875+0,125-3,625-1,375+2,875+1,125+3,625=5;

у_нл⁵=1,375-0.875-0,125+3,625-1,375+2,875+1,125-3,625=3;

у_нл⁶=1,375+0.875-0,125+3,625+1,375-2,875+1,125+3,625=9;

у_нл⁷=1,375-0.875+0,125+3,625+1,375+2,875-1,125+3,625=11;

у_нл⁸=1,375+0.875+0,125+3,625-1,375-2,875-1,125-3,625=-3.

Запишем все полученные данные в таблицу 5.

Метод всех регрессий.

Исключим из нелинейной модели факторы, которые незначительно влияют на функцию отклика.

у_нл=1,375-0,875x₁-0,125x₂-3,625x₃-1,375x₁x₂-2,875x₁x₃-1,125x₂x₃+3,625x₁x₂x₃

В этой модели очень сильно отличается коэффициент b=-0,125. Исключим его и рассчитаем новое значение у_нл^упрощ

у_нл=1,375-0,875x₁-3,625x₃-1,375x₁x₂-2,875x₁x₃-1,125x₂x₃+3,625x₁x₂x₃

у_нл^упрощ.1=1,375-0.875-3,625-1,375-2,875-1,125+3,625=-3,875;

у_нл ^упрощ.2=1,375+0.875-3,625+1,375+2,875-1,125-3,625=-3,125;

у_нл ^упрощ.3=1,375-0.875-3,625+1,375-2,875+1,125-3,625=-8,125;

у_нл ^упрощ.4=1,375+0.875-3,625-1,375+2,875+1,125+3,625=6,125;

у_нл ^упрощ.5=1,375-0.875+3,625-1,375+2,875+1,125-3,625=4,125;

у_нл ^упрощ.6=1,375+0.875+3,625+1,375-2,875+1,125+3,625=7,125;

у_нл ^упрощ.7=1,375-0.875+3,625+1,375+2,875-1,125+3,625=9,125;

у_нл ^упрощ.8=1,375+0.875+3,625-1,375-2,875-1,125-3,625=-1,125.

Найдем отклонения между у_нл^упрощ и у^экс-т по формуле ε= | у_нл ^упрощ. - у^экс-т|

ε₁=|-3,875+5|=1,125;

ε₂=|-3,125+2|=1,125;

ε₃=|-8,125+7|=1,125;

ε₄=|6,125-5|=1,125;

ε₅=|4,125-3|=1,125;

ε₆=|7,125-9|=1,125;

ε₇=|9,125-11|=1,125;

ε₈=|1,125+3|=1,125.

Запишем полученные результаты в таблицу 5.

Таблица 5.

№ опыта	х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	уэкс-т	ул	ε	унл	унлрег	ε для унл упрощ.
1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	-5	-3,25	1,75	-5	-3,875	1,125
2	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-2	-1,5	0,5	-2	-3,125	1,125
3	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	-7	-3	4	-7	-8,125	1,125
4	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	5	-1,25	-6,25	5	6,125	1,125
5	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	3	4	1	3	4,125	1,125
6	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	9	5,75	-3,25	9	7,875	1,125
7	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	11	4,25	-6,75	11	9,875	1,125
8	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	-3	6	9	-3	-1,875	1,125

Вывод

После составления линейной и нелинейной имитационной модели, после расчета значений функции у линейной и нелинейной модели можно сделать следующие выводы:

1. преимущество линейной модели является ее простота при составлении и анализе. Недостатком является то, что в линейной модели присутствуют ошибки, то есть у_л отличается от у^экс-т на ошибку ε. Данная модель не точная.

2. при составлении нелинейной модели мы старались учесть как можно больше число факторов, влияющих на изменение у. При этом получили сложную модель. В этом заключается недостаток нелинейной модели (нелинейная модель очень громоздкая). Преимуществом данной модели является точный результат, т.е. ошибка ε при сравнении у_нл и у^экс-т равна 0. Следовательно, данная модель является точной.

3. используя метод всех регрессий, мы записали упрощенную нелинейную модель. При анализе коэффициентов нелинейной модели можно увидеть, что один из коэффициентов сильно отличается от остальных (b=-0.125). Мы удаляем этот коэффициент модели и переписываем модель в виде упрощенной и рассчитываем y_нл ^упрощ.. Также рассчитываем ошибку (ε) между у^экс-т и y_нл ^упрощ.. Видим, что ошибка присутствует, но она меньше, чем ошибки в линейной модели, поэтому упрощенную нелинейную модель можно считать более точной, чем линейная модель. Модель при этом становится менее сложной.

Лабораторная работа №6

МНОГОПРОДУКТОВЫЙ ПРОСТОЙ

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ ОБЪЕКТ

Цель работы: изучение математической модели многопродуктового производственного объекта. Закрепление теоретического материала расчетом примеров определения возможностей объекта по выпуску продукции различного вида.

Требуется определить:

1. Количество изделий каждого вида Y_j, которое предприятие сможет выпустить, исходя из наличия компонент.

2. Необходимую численность персонала L_j для выпуска каждого вида изделий.

Исходные данные

Вариант 3

Компо-ненты	Изделия
	А1	А2	А3	А4
a1	0,5	10	1	1
a2	0	13	2	2
a3	3,5	5	2	1
a4	3,7	0	2	3
a5	0	1	2	1

N1	N2	N3	N4	V10	V20	V30	V40	V50	L0	mL1	mL2	mL3	mL4
0,1	0,16	0,4	0,34	43	18	56	30	33	7	0,8	1,1	1,2	1,15

Метод решения

Задано:

n-количество видов изделий;

А_i – вид изделия;

аⁱ – нормы затрат на изготовление единицы каждого изделия;

N_j – доли выпуска каждого вида изделия в общем объеме выпуска;

V_i0 – ограничения на наличие компонент;

L₀ – ограничение на наличие персонала;

m_Lj – нормативы трудозатрат на изготовление изделия каждого вида.

Предприятие, выпускающее несколько видов продукции, называется многопродуктовым производственным объектом. Рассмотрим влияние на процесс производства двух факторов производства – материальных и трудовых затрат.

1. Материальные затраты на производство продукции

Предположим, что всего при производстве продукции используется m видов компонент aⁱ (i=1,2,...,m ) и каждое изделие A_j состоит из различных компонент, которые обозначим через aⁱ_j, i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n . Здесь индекс j означает принадлежность компоненты aⁱ к продукции (изделию) вида A_j., а индекс i означает вид компоненты aⁱ_j (например, материалы, энергия или более конкретно, колесо, корпус машины и т.д.). Вообще говоря, необязательно, чтобы все виды компонент aⁱ_j входили во все виды изделий A_j.

Количество i-го компонента, используемого для изготовления единицы j-го вида выпускаемой продукции, обозначим через . Потребное количество в единицу времени компоненты aⁱ_j для выпуска продукции A_j в количестве Y_j обозначим через Тогда

(1)

Величина (компоненты затрат при производстве изделия A_j ) для каждого фиксированного значения индекса j представляет собой вектор с пропорциональными компонентами, т.е.

(2)

Если ресурсы объекта не соответствуют пропорции (2), то выпуск определяется наличием наиболее дефицитного вида ресурса:

(3)

где – имеющиеся на объекте ресурсы i –го вида.

2. Трудовые затраты при производстве продукции

В зависимости от вида выпускаемых изделий, применяемой технологии и используемого оборудования требуется для производства продукции в количестве Y_j требуется соответствующее количество рабочей силы различных специальностей, которые образуют вектор с пропорциональными компонентами ( ) при фиксированном j , т.е.

(4)

где  численность производственного персонала p-й специальности, занятой на производстве j- го изделия;

 норматив трудозатрат на единицу изделия A_j ;

P_j  общее число различных специальностей, необходимых при изготовлении изделия A_j.

Обычно имеются ограничения на численность персонала

(5)

Общее количество персонала обозначим через L₀.

Если трудовые ресурсы объекта не соответствуют пропорции (4), то выпуск определяется наличием наиболее дефицитного вида ресурса:

где - имеющиеся на объекте людские ресурсы p-го вида.

РЕШЕНИЕ

Решим задачу определения возможностей многопродуктового производственного объекта по наличию материальных и трудовых ресурсов.

Определим количество изделий каждого вида Y_j, которое предприятие может выпустить, исходя из наличия компонент.

1. Д ля заданного количества компонент a_i (i=1,…,5) запишем систему неравенств

V₁=a₁¹y₁ + a₂¹y₂ + a₃¹y₃ + a₄¹y₄ ≤V₁₀

V₂=a₁²y₁ + a₂²y₂ + a₃²y₃ + a₄²y₄ ≤V₂₀

V₃=a₁³y₁ + a₂³y₂ + a₃³y₃ + a₄³y₄ ≤V₃₀ (6.1)

V₄=a₁⁴y₁ + a₂⁴y₂ + a₃⁴y₃ + a₄⁴y₄ ≤V₄₀

V₅=a₁⁵y₁ + a₂⁵y₂ + a₃⁵y₃ + a₄⁵y₄ ≤V₅₀

В систему уравнений (6.1) подставим y_j = N_jY получим

Y[a₁¹N₁ + a₂¹N₂ + a₃¹N₃ + a₄¹N₄] ≤V₁₀

Y[a₁²N₁ + a₂²N₂ + a₃²N₃ + a₄²N₄] ≤V₂₀

Y[a₁³N₁ + a₂³N₂ + a₃³N₃ + a₄³N₄] ≤V₃₀

Y[a₁⁴N₁ + a₂⁴N₂ + a₃⁴N₃ + a₄⁴N₄] ≤V₄₀

Y[a₁⁵N₁ + a₂⁵N₂ + a₃⁵N₃ + a₄⁵N₄] ≤V₅₀

Определим ограничение на суммарный выпуск продукции Y

Y₁[0,5*0,1+10*0,16+1*0,4+1*0,34] ≤ 43

Y₂[0*0,1+13*0,16+2*0,4+2*0,34] ≤ 18

Y₃[3,5*0,1+5*0,16+2*0,4+1*0,34] ≤ 56

Y₄[3,7*0,1+0*0,16+2*0,4+3*0,34] ≤ 30

Y₅[0*0,1+1*0,16+2*0,4+1*0,34] ≤ 33

2,39Y₁ ≤ 43

3,56Y₂ ≤ 18

2,29Y₃ ≤ 56

2,19Y₄ ≤ 30

1,3Y₅ ≤ 33

Y₁ ≤ 17,9

Y₂ ≤ 5,05

Y₃ ≤ 24,4

Y₄ ≤ 13,7

Y₅ ≤ 25,4

Выбираем наименьшее значение Y=Y_min = Y₂.

Для 4 видов изделий вычислим количество выпускаемой продукции y_j.

y ₁=N₁*Y_min=0,1*5,05=0,505

y₂=N₂*Y_min=0,16*5,05=0,808

y₃=N₃*Y_min=0,4*5,05=2,02

y₄=N₄*Y_min=0,34*5,05=1,717

Дефицитной компонентой, которая ограничивает выпуск продукции, является V₂₀.

Расчет потребного количества компонент

Подставляем найденные значения y₁, y₂, y₃, y₄ в систему (6.1) и рассчитаем V_{потребное}.

V¹_{потребное} = 0,5*0,505+10*0,808+1*2,02+1*1,717 = 0,25+8,08*2,02+1,717 =12,06

V²_{потребное} = 0*0,505+13*0,808+2*2,02+2*1,717 = 10,5+4,04+3,434 = 17,97

V³_{потребное} = 3,5*0,505+5*0,808+2*2,02+1*1,717 = 1,76+4,025+4,04+1,717=11,5

V⁴_{потребное} = 3,7*0,505+0*0,808+2*2,02+3*1,717= 1,86+0+4,04+5,051=11,05

V⁵_{потребное} =0*0,505+1*0,808+2*2,02+1*1,717= 0+0,808+4,04=1,717 = 6,56

Вычислим количество излишек по каждой компоненте:

V₁ =V₁₀-V¹_{потребное} = 43-12,06=30,94

V₂ =V₂₀-V²_{потребное} = 18-17,97=0,03

V₃ =V₃₀-V³_{потребное} =56-11,5=44,50

V₄ =V₄₀-V⁴_{потребное} = 30-11,05 = 18,95

V₅ =V₅₀-V⁵_{потребное} = 33-6,56=26,44

После производства каждого вида изделия на складе остаются компоненты a₁, a₂, a₃, a₄ , которые можно продать, получив дополнительную прибыль.

II. Вычислим потребное количество персонала

На производстве изделий работают 6 рабочих одинаковой специальности, то есть L₀=7.

Имеется ограничение на общую численность персонала

L_{потребное} =∑ m_Lj * Y_j

L¹_п = m_L1*y₁ = 0,*0,05=0,404(=1)

L²_п = m_L2*y₂ = 1,1*0,808=0,88 (=1)

L³_п = m_L3*y₃ = 1,2*2,02=2,42 (=3)

L⁴_п = m_L4*y₄ = 1,15*1,717 =1,97 (=2)

L_{потребное} = L¹_п + L²_п + L³_п + L⁴_п = 1+1+3+2=4

L=L₀ – L_{потребное} =7-7=0

2 рабочих загружены не полностью. Потребность в дополнительных рабочих отсутствует.

Вывод: После изучения математической модели многопродуктового производственного объекта получили, что дефицитная компонента, которая ограничивает выпуск продукции равна V₂₀ = 18. После подсчета потребного количества компонент получили, что компонента а² расходуется полностью, а часть компонент а¹, а³, а⁴, а⁵ остаются на складе.

Дробность программы выпуска y₁=0,505; y₂=0,808; y₃=2,02; y₄=1,717 означает, что за рассматриваемую единицу времени изготавливается не целое число изделий, некоторые из них изготовлены частично. Расход каждого вида компонент равен V¹=12,06 V²=17,97, V³=11,5, V⁴=11,05. Излишки этих компонент можем продать и получить дополнительную прибыль.

Пусть нормативы трудозатрат равны m_L1=0,8; m_L2=1,1; m_L3=1,2; m_L4=1,15. Тогда потребная численность персонала по каждому виду изделия равна L¹_п = 0,4, L²_п =0,88, L³_п =2,42, L⁴_п =1,97.

Значение потребной численности для выпуска каждого изделия дробное. Это означает, что люди, работающие на сборке каждого изделия, загружены не полностью. Необходимое количество персонала на участке составляет 7человека, При имеющемся ограничении L₀=7 человек, что все рабочие задействованы в производстве

Заключение

В результате использования математических методов достигается более полное изучение влияния отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организаций, уменьшение сроков осуществления анализа, повышается точность осуществления экономических расчетов, решаются многомерные аналитические задачи, которые не могут быть выполнены традиционными методами. В процессе использования экономико-математических методов в экономическом анализе осуществляется построение и изучение экономико-математических моделей, описывающих влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организаций.

В ходе выполнения данной работы были решены все поставленные задачи:

задачи:

1. Произведен расчет себестоимости изделия, дана оценка прибыльности и окупаемости изделия.

2. Рассмотрена задача линейного программирования и ее графическое решение.

3. Произведено построение имитационной модели системы по результатам полного факторного эксперимента.

4. Изучена математическая модель многопродуктового производственного объекта.

Таким образом цель данной работы была достигнута.

Список использованной литературы

1. Кивачук В.С. Оздоровление предприятия: экономический анализ. Издательства: Издательство деловой и учебной литературы, «Амалфея». М.: 2002 г.

2. Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. СПб.: Издательство «Питер», серия «Краткий курс», 2002 г.

3. Пинегина М.В. Математические методы и модели в экономике. М.: Издательство «Экзамен», 2002 г.

4. Пястолов С.М. Экономический анализ деятельности предприятий: Учебное пособие для вузов Серия: «Gaudeamus». М.: 2002 г.

5. Сиразетдинов Т.К., Родионов В.В., Ультриванов И.П. Математические методы исследования экономических систем: Лабораторный практикум для студентов института экономики . Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2007. 40 с.

6. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. М.: Издательство «Дело», серия «Наука управления», 2000