- •Краткий курс сопротивления материалов
- •Часть 2
- •Глава 1. Перемещения балок при изгибе
- •1.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
- •Итак, две величины υ и θ являются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения балки.
- •1.2. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки
- •1.3. Метод начальных параметров
- •1.4. Энергетические теоремы
- •Понятие о действительном и возможном перемещениях. Работа внешних сил
- •Потенциальная энергия стержня.
- •1.5. Метод Мора
- •1.6. Графический способ вычисления интеграла Мора – способ Верещагина
- •Глава 2. Статически неопределимые балки
- •2.1. Общие понятия
- •2.2. Расчёт методом сил
- •2.3. Многопролётные неразрезные балки
- •Глава 3. Сложное сопротивление прямого бруса
- •3.1. Общие понятия
- •3.2. Косой изгиб
- •3.3. Косой изгиб с растяжением (сжатием)
- •3.4. Внецентренное растяжение (сжатие)
- •3.5. Изгиб с кручением круглого стержня
- •3.6. Изгиб с кручением прямоугольного стержня
- •Глава 4. Устойчивость сжатых стержней
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Определение критической силы методом Эйлера
- •4.3. Зависимость критической силы от способа закрепления концов стержня
- •4.4. Пределы применимости формулы Эйлера. Кривая критических напряжений
- •4.5. Расчёт на устойчивость по допускаемому напряжению
- •4.6. Пример расчёта
- •Определение размеров поперечного сечения
- •Определение грузоподъёмности
- •4.7. О выборе материала и рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней
- •Глава 5. Прочность при повторно-переменных (циклических) напряжениях
- •5.1. Основные понятия. Механизм разрушения
- •5.2. Характеристики цикла. Виды циклов
- •5.3. Экспериментальное определение характеристик сопротивления усталости
- •5.4. Влияние конструктивно-технологических факторов на усталостную прочность
- •5.4.1. Влияние концентрации напряжений
- •5.4.2. Влияние абсолютных размеров детали
- •5.4.3. Влияние состояния поверхности
- •5.5. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и симметричном цикле
- •5.6. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и несимметричном цикле
- •5.7. Расчёт на прочность при плоском напряжённом состоянии
- •Глава 6. Расчёты прочности при динамических нагрузках
- •6.1. Общая характеристика динамических задач
- •6.2. Напряжения в тросе при равноускоренном подъёме груза
- •6.3. Напряжения в тонком кольце при вращении с постоянной скоростью
- •6.4. Характеристики колебательных процессов
- •6.4.1. Число степеней свободы
- •6.4.2. Типы сил
- •6.4.3. Классификация колебаний
- •6.5. Свободные незатухающие колебания системы с одной степенью свободы
- •6.5.1. Поперечные и продольные колебания
- •6.5.2. Крутильные колебания
- •6.6. Свободные затухающие колебания системы с одной степенью свободы
- •6.7. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии периодической возмущающей силы
- •6.7.1. Без учёта затухания
- •6.7.2. С учётом затухания
- •6.8. Критическая частота вращения вала
- •6.9. Приближённое определение частоты собственных колебаний систем со многими степенями свободы
- •6.10. Расчёт на удар
- •6.10.1. Продольный и поперечный удар
- •6.10.2. Скручивающий удар
- •Оглавление
Министерство образования Российской Федерации
____________________
Санкт-Петербургский институт машиностроения (ЛМЗ-ВТУЗ)
_______________________________________________________
Эйгенсон С.Н., Шевелёв Л.П., Корихин Н.В.
Краткий курс сопротивления материалов
Часть 2
Учебное пособие
Санкт-Петербург 2010
УДК 539.3.8
Эйгенсон С.Н., Корихин Н.В., Шевелёв Л.П. Краткий курс сопротивления материалов. Часть 2: Учеб. пособие – СПб.: Изд-во ПИМаш, 2010. – 149 с.
Написано по материалам лекций, много лет читаемых авторами в Институте машиностроения (заводе – ВТУЗе). В сжатой форме изложены минимально необходимые сведения, соответствующие программе машиностроительных вузов.
Во второй части пособия излагаются следующие разделы курса сопротивления материалов: перемещения балок при изгибе, статически неопределимые балки, сложное сопротивление, устойчивость сжатых стержней, усталость, динамические нагрузки.
Для студентов вузов машиностроительного профиля. Особенно рекомендуется студентам вечерней и заочной форм обучения.
Ил. – 95, табл. – 6, библиогр. – 7 назв.
Рецензенты: д-р техн. наук, проф. В.В.Улитин (СПбГУНТ и ПТ)
д-р техн. наук, проф. И.А.Богов (ПИМаш)
Санкт-Петербургский
институт машиностроения, 2010
Глава 1. Перемещения балок при изгибе
1.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
Для того чтобы судить о работе балок, недостаточно знать только напряжения, возникающие в сечениях балки от заданной нагрузки.
Напряжения позволяют проверить прочность, однако прочные балки могут оказаться непригодными к эксплуатации из-за недостаточной жёсткости. Для проверки жёсткости балки необходимо научиться определять перемещения отдельных точек её оси.
а б
Рис.1.1
На рис.1.1,а показана балка, заделанная одним концом и нагруженная сосредоточенной силой. В результате изгиба ось становится криволинейной. Точка К перемещается в положение К′. Вертикальная составляющая этого перемещения – υmax, горизонтальная – umax, угол наклона касательной – θmax.
Следует отметить, что υ – это перемещение центра тяжести сечения вдоль оси у, а расстояние произвольной точки поперечного сечения от нейтральной оси z – это у (см. рис.1.1,б).
Подавляющее большинство балок, используемых в технике (валы турбин, электрических машин, мосты и пр.), очень жёсткие. Их наибольший прогиб υmax не должен превышать 1/400 1/1000 длины пролёта ℓ. При этом получается, что горизонтальное перемещение u меньше 1/100 1/10000 от υ, поэтому считаем, что u = 0.
При малых прогибах υ угол наклона касательной к оси θ можно определить с помощью выражения
θ . (1.1)
Итак, две величины υ и θ являются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения балки.
Связь между кривизной изогнутой оси и изгибающим моментом была получена при выводе формулы нормальных напряжений при изгибе – см. п.5.4, формула (5.17):
. (1.2)
Известно также из математического анализа уравнение кривизны плоской кривой
. (1.3)
Приравняв правые части формул (1.2) и (1.3), получим дифференциальное уравнение изогнутой оси. Учитывая отмеченную выше малость прогибов и углов наклона касательной, можно пренебречь квадратом первой производной в знаменателе по сравнению с единицей. Тогда получим приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси
. (1.4)
Знак зависит от направления осей координат. Если ось 0υ направлена вверх, знаки кривизны и изгибающего момента совпадают (рис.1.2), поэтому в уравнении (1.4) берётся знак «+». |
Рис. 1.2 |
Если ось 0υ направлена вниз, то знаки кривизны и изгибающего момента различны, поэтому в правой части уравнения (1.4) берётся знак «–».
Впредь ось 0υ будем всегда направлять вверх; дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет следующий вид
. (1.5)
Уравнение (1.5) выведено для случая чистого изгиба (М = const, Q = 0), но используется и для случая поперечного изгиба (Q 0). Учитывая дифференциальные зависимости и (см. п. 5.2 первой части курса), отметим физический смысл функции υ и её производных:
υ – прогиб в произвольном сечении балки;
– угол поворота произвольного сечения балки;
– изгибающий момент, делённый на жёсткость;
– поперечная сила, делённая на жёсткость;
– интенсивность распределённой нагрузки, делённая на жёсткость.