- •Лекция 1
- •1. Запись чисел в десятичной системе счисления. Теорема о существовании и единственности десятичной записи натурального числа.
- •2. Теорема о сравнении натуральных чисел по их десятичной записи. Образование названий и запись натуральных чисел.
- •3.Сложение чисел в десятичной системе счисления. Алгоритм сложения.
- •4. Вычитание натуральных чисел в десятичной системе счисления.
- •8. Умножение натуральных чисел в десятичной системе счисления.
- •9. Деление натуральных чисел в десятичной системе счисления.
- •10. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной.
- •1. Отношение делимости во множестве целых неотрицательных чисел, его основные
- •2. Признаки делимости.
- •3. Нод и нок чисел, их свойства. Пункт 1. Общий делитель и наибольший общий делитель.
- •Пункт 2. Свойства нод.
- •Пункт 3. Взаимнопростые числа.
- •Пункт 4. Наименьшее общее кратное целых чисел.
- •4. Признак делимости на составное число.
- •5. Простые и составные числа. Свойства простых чисел.
- •П.2. Основные свойства простых и составных чисел
- •6. «Решето Эратосфена».
- •7. Основная теорема арифметики.
- •8. Алгоритм Евклида. Алгоритм Евклида и нод двух целых чисел.
8. Умножение натуральных чисел в десятичной системе счисления.
Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в таблицу умножения и запоминают.
Умножение многозначного числа на однозначное основывается на:
- записи чисел в десятичной системе счисления;
- свойствах сложения и умножения;
- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.
Правило умножения многозначного числа на однозначное:
Пусть требуется умножить на однозначное число : . Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно сложения: . Используем коммутативное свойство умножения:
. Используем ассоциативное свойство умножения: . После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения , где , соответствующими значениями и получаем:
.
По таблице сложения заменяем суммы , где и , их значениями. Если, например, однозначно, то последняя цифра произведения равна . Если же , то последняя цифра равна , а к скобке надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа .
Пример1:
Вычислим:
Представим первое число в десятичной записи:
Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно сложения:
Используем коммутативное свойство умножения:
Используем ассоциативное свойство умножения:
Заменяем все произведения , где , соответствующими значениями :
Используя ассоциативное свойство сложения и дистрибутивность умножения относительно сложения, приведем подобные:
По таблице сложения заменяем суммы , где и , их значениями:
Запишем произведение в виде краткой записи:
.
Алгоритм умножения многозначного числа на однозначное:
Записать второе число под первым.
Умножить цифры разряда единиц числа на число . Если произведение меньше 10, записать его в разряд единиц ответа и перейти к следующему разряду (десятков).
Если произведение цифры единиц числа на число больше или равно 10, то представить его в виде , где - однозначное число; записать в разряд единиц ответа и запоминаем - перенос в следующий разряд.
Умножить цифру разряда десятков числа на число , прибавить к полученному произведению число и повторяем процесс, описанный в пунктах 2 и 3.
Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.
Пример2:
Вычислим:
1) Запишем второе число под первым: .
2) Умножим 7 на 4. Получим . Представим 28 в виде . Запишем 8 в разряд единиц ответа и запомним 2: .
3) Умножим 5 на 4 и прибавим к произведению 2. Получим . Представим 22 в виде . Запишем 2 в разряд сотен ответа и запомним 2: .
4) Умножим 3 на 4 и прибавим к произведению 2. Получим . Представим 14 в виде . Запишем 4 в разряд тысяч ответа и запомним 1: .
5) Добавим 0 в разряд десятков тысяч числа 357. Умножим 0 на 4 и прибавим к произведению 1. Получим . Запишем 1 в разряд десятков тысяч ответа: .
Умножение многозначного числа на многозначное основывается на:
- умножении многозначного числа на однозначное и на степень десяти;
- сложении многозначных чисел.