Мат.Анализ

Вопрос № 5. Производная сложной функции, обратной функции, неявной функции

Сложная функция.

В математическом анализе под сложной функцией понимают именно такую функцию – функцию, под знаком которой стоит другая функция, например:

sin(ln(x)), ln(sin(x)).

Сложная функция (суперпозиция функций, наложение функций) – это функция от функции.

Мы должны помнить из школьного курса математики, что x в выражении f(x) называется независимой переменной или аргументом функции, а y в формуле y=f(x) – зависимой переменной или значением функции. Вот здесь то и начинается самое интересное. А что если в функции f(x) переменная x сама является функцией некоторой переменной t, то есть x=g(t), тогда мы вместо x можем подставить g(t) и получить функцию h(t)=f(g(t)). Вот эта-то функция h(t) и называется сложной функцией, или, точнее, наложением функций f и g.

Производная сложной функции может быть найдена по формуле:

h'(t)=f'x(x)·g't(t) или h'(t)=f'x(g(t))·g't(t).

Индексы х и t функций f'x(x) и g't(t) означают, что производная функции f берется по х, а производная функции

Функцию f(x) мы назовем внешней, а функцию g(t) назовем внутренней. Таким образом правило взятия производной сложной функции звучит так: производная сложной функций равна произведению производной внешней функции по зависимой переменной и производной внутренней функции по независимой переменной.

Пример. Вычислить производную сложной функции.

h(t)=sin(t2)

Внешней функцией здесь является функция:

f(x)=sin(x),

а внутренней:

g(t)=t2.

Поэтому, применяя формулу производной сложной функции, получим следующий результат:

h'(t)=[sin(x)]'x ·(t2)'t

Сравните эту формулу с формулой

h'(t)=f'x(x)·g't(t)

Далее, берем отдельно производную синуса и степенной функции и перемножаем их:

h'(t)=[sin(x)]'x ·(t2)'t=cos(x)•(2t).

Что? Все? Производная найдена? Не совсем! Надо еще вместо x подставить выражение внутренней функции x(t)=t2.

h'(t)=[sin(x)]'x ·(t2)'t=cos(x)•(2t)=cos(t2)•(2t).

Обратная функция.

Функция G(Y) Называется обратной для функции F(X), если для каждого Y из области значений функции F(X) функция G(Y) ставит в соответствие значение X такое, что Y=F(X). Например, если Y=Sin(X), То обратная функция X=Arcsin(Y) Ставит в соответствие Y такое X, что Y=Sin(X). Таким образом, мы выяснили, что не для всех элементарных функций можно выяснить обратную функцию и записать ее в виде комбинации конечного числа основных элементарных функций. Другими словами, прямая функция F(X) X переводит в Y, а обратная функция у переводит в х, но не в любой х, а в тот, который прямая функция перевела в у. Если функция F Переводит х в у, то обратная функция переводит тот же самый у в х, который был переведен в у. Обратная F обозначается через

Таким образом, если Y=F(X), То X=F-1(Y). Теперь надеемся, вам ясно, что такое обратная функция. Но вот производная обратной функции к элементарной функции может быть вычислена всегда.

Формула производной обратной функции.

Правила вычисления производной обратной функции читается просто: производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. Таким образом, если Y=F(X), То X=G(Y) И G'(Y)=1/F'(X)=1/F'X(G(Y)). Таким образом, чтобы найти производную обратной функции к функции F(X), Надо найти производную F(X), взять ее обратную величину, а вместо X Подставить его выражение через у, если его вообще можно найти. Теперь перейдем к долгожданным примерам, чтобы полностью прояснить вопрос, как работатет формула производной обратной функции.

Найдем производную функции X=Arcsin(Y), зная, что Y'=(Sin(X))'=Cos(X).

Решение. Согласно формуле производной обратной функции

Таким образом

Пример 2 Найти производную функции y(x) если

Формула производной обратной функции дает нам возможность дифференцировать уравнения, например, если x(y)=y-sin(y) то мы можем найти производную функции Y'(X), не зная явного выражения Y(X). Этот факт называется вычислением производной функции, заданной неявно. Действительно, дифференцируем левую и правую части этого уравнения по X, тогда получим:

Мы получили то же самое, что и в предыдущем примере.

Неявная функция

В предыдущем примере мы продифференцировали уравнение, в котором переменная х входила только в правую часть и в первой степени, однако производная сложной функции и производная обратной функции дают возможность дифференцировать общее уравнение.

Это уравнение можно рассматривать как функцию(X), так и как функцию X(Y). В обоих случаях оно определяет некоторую связь, зависимость между переменными х и у, причем для каждого х может найтись несколько значений у и для каждого у может оказаться несколько значений х, удовлетворяющих этому уравнению. Уравнение определяет кривую на плоскости. Рассмотрим, например, уравнение

Надо найти производные и

Дифференцируем обе части уравнения по х:

Группируем слагаемые и выносим общий множитель за скобки:

Выражаем производную:

Можно выразить у через х из уравнения и подставить правую часть полученного равенства, однако в результате получается крайне громоздкое выражение производной функции, заданной неявно, что делает неудобным, поэтому лучше оставить результат вычисления производной таким, какой он есть. Теперь найдем производную неявно заданной функции х(у). Эта производная может быть также найдена из уравнения путем дифференцирования по у:

Группируем слагаемые и выносим общий множитель за скобки:

Выражаем производную:

Как видим:

Таким образом, мы можем проверить сейчас, что произведение производных двух взаимно обратных функций дает единицу при любых значениях независимых переменных. Как видим, действительно, что числитель и знаменатель этих двух дробей сокращаются, то есть это и есть две взаимно обратные дроби, что и требовалось, доказать.