4.2. Статистическое распределение выборки и его характеристики

Результаты выборки представляются в виде статистического распределения:

xi	x1	x2	x3	…	xk
ni	n1	n2	n3	…	nk

где n₁ + n₂ + … + n_k =  n_i = n

х_i – варианты, n_i – соответствующие им частоты, n – объем выборки,

W_i = n_i / n – относительные частоты. Распределение относительных частот:

xi	x1	x2	x3	…	xk
Wi	W1	W2	W3	…	Wk

Основные характеристики выборки:

– выборочная средняя, Д_в – выборочная дисперсия, _в – выборочное среднее квадратическое отклонение. S² – исправленная дисперсия.

.

4.3. Полигон и гистограмма

Полигон частот - ломаная, отрезки которой соединяют точки (х_i, n_i).

Полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой соединяют точки (х_i, W_i).

Статистическое распределение может носить интервальный (непрерывный) характер.

Пример3.

Х	2-5	5-8	8-11	11-14
ni	9	10	25	6

h – длина частичного интервала. В примере h = 5-2=8-5=11-8=14-11=3.

Гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямо­угольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n_i/h (плотность частоты).

4.4. Точечные оценки параметров генеральной совокупности

 ; Д_r = Д_в (n  30); ; Д_r  S²(n < 30).

Пример1. n = 8 + 9 + 10 + 3 = 30.

Х	2	4	5	6
ni	8	9	10	3

или Д_в = – ;

Д_в = 17,8 – 4² = 1,8;

Таким образом, характеристики генеральной совокупности

=4; Д_r  Д_в  1,8; .

Для интервального распределения находят середины интервалов х_i.

Пример2.

Х	2-5	5-8	8-11	11-14
ni	9	10	25	6

Переходим к дискретному распределению

Хi	3,5	6,5	9,5	12,5
ni	9	10	25	6

Дальнейшие вычисления делаем, как в примере 1. Получаем:

=3,91; =74,53; Д_в  59,24; S² = 60,25.

Таким образом,  3,91; Д_r  S² = 60,25;

4.5. Интервальная оценка (доверительный интервал) для генеральной средней

– генеральная средняя (оцениваемый параметр);

– точечная оценка генеральной средней;

 – характеристика точности оценки,  – надежность оценки;

( – ; + ) – доверительный интервал для = а.

 ( – ; + ) с вероятностью (надежностью) .

Для нормального распределения признака

где  = _r ; n – объем выборки, t находят из соотношения 2Ф(t) =  С помощь таблицы (Приложение 2).

Таким образом, для нормально распределенной величины X:

.

Чем больше n, тем меньше , т.е. точность оценки растет. Чем больше g - надежность оценки, тем меньше ее точность ( увеличивается).

Если _r неизвестно, то где S² исправленная выборочная дисперсия; t_ находится из таблицы (Приложение 4) по заданным значениям  и n.