- •Обработка результатов
- •2.Составление интервального ряда распределения.
- •3.Вычисление оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
- •4.Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию (критерий согласия Пирсона).
- •1.Построение гистограммы относительных частот.
- •4.Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию (критерий согласия Пирсона).
3.Вычисление оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
Несмещенной оценкой математического ожидания является выборочная средняя , а среднего квадратического отклонения – исправленное среднее квадратическое отклонение s, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии .
Используя данные интервального ряда распределения, находим
(3)
(4)
Вернемся к таблице 1. В четвертом столбце этой таблицы вычисляем произведения . В последней k+1-ой строке этого столбца вычисляем значение по формуле (3). В пятом столбце таблицы 1 вычисляем , в шестом – квадрат этого модуля, а в седьмом – произведения . В последней строке седьмого столбца вычисляем значение по формуле (4) и, наконец, s.
Замечание. Значения в пятом, шестом и седьмом столбцах удобно вычислять одновременно для каждой строки.
4.Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию (критерий согласия Пирсона).
Критерием согласия называют критерий проверки статистической гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.
Критерий согласия Пирсона: для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена нормально, надо вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия:
(5)
и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы r=k-3 найти критическую точку . Если - нет оснований отвергнуть выдвинутую гипотезу, если же - гипотезу отвергают.
В данной задаче выдвинутая гипотеза состоит в том, что теоретическое распределение нормально с параметрами , s. Поэтому вероятность того, что значения случайной величины Х попадают в интервал , можно вычислить по формуле:
, (6)
где – значения нормированной величины.
Вернемся к таблице 1. Чтобы вычислить , в восьмом столбце запишем значения (по данным пятого столбца и значению s). В девятом столбце запишем найденные по таблице 2 значения . В десятом столбце вычислим значения , используя формулу (6). И в последнем, одиннадцатом, столбце запишем значения дроби , а в последней строке этого столбца – значение , вычисленное по формуле (5).
Замечание. Во всех интервалах должно быть . Если в каких-то интервалах данное условие не выполняется, то эти интервалы надо объединить с соседними. При этом в объединенных интервалах, значения и полагают равными сумме соответствующих значений в объединяемых интервалах. Количество интервалов после объединения становится равным .
После того как найдено значение по таблице 4 критических точек распределения находим значение величины , где – число степеней свободы, - число интервалов после объединения, - принятый уровень значимости. Далее сравниваем и . Если , то гипотезу о нормальном распределении исследуемой величины отвергаем. В противном случае гипотеза не противоречит опытным данным.
5.Построение кривой нормального закона распределения.
Если гипотеза о нормальном распределении с параметрами , s не отвергнута, можно построить кривую нормального распределения, т.е. график плотности распределения и сравнить его с гистограммой относительных частот. Для этого на графике относительных частот приближенно построим график плотности в пяти точках:
1-ая точка: (7)
2-ая точка: (8)
3-ья точка: (9)
4-ая точка: (10)
5-ая точка: (11)
Замечание.
Замечание. Ординаты второй, третьей, четвертой и пятой точек являются точками перегиба.
Соединяем полученные точки (учитывая перегибы) плавной линией.
6.Построение доверительных интервалов для математического ожидания и среднего квадратического отклонения с заданной надежностью.
Доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения находим по формулам:
(12)
(13)
где и при заданной надежности находим по таблицам 5 и 6.
Пример. Измерение величины износа 100 штук чугунных тормозных колодок за месяц дало следующие результаты (в мм):
13,2 |
13,8 |
14 |
14,2 |
13,8 |
14,1 |
13,8 |
14,1 |
13,5 |
13,3 |
13,6 |
14 |
13,5 |
14,3 |
13,7 |
13,3 |
14 |
13,7 |
13,7 |
13,8 |
13,8 |
14,2 |
13,7 |
14 |
13,6 |
13,6 |
14,2 |
13,9 |
13,8 |
13,7 |
14 |
14,3 |
13,1 |
13,7 |
13,5 |
13,4 |
13,4 |
13,8 |
14 |
14 |
14,2 |
14,2 |
14,4 |
13,9 |
13,2 |
13,7 |
13,7 |
13,5 |
13,7 |
13,6 |
14,4 |
13,1 |
13,9 |
13,5 |
13,4 |
14 |
13,8 |
13,3 |
14,1 |
13,5 |
13,7 |
13,6 |
13,6 |
13,5 |
13,8 |
13,9 |
13,7 |
13,6 |
13,8 |
13,8 |
13,9 |
13,5 |
13,7 |
13,8 |
13,9 |
13,3 |
13,6 |
13,7 |
14 |
13,9 |
13,4 |
14,1 |
13,5 |
14,2 |
14 |
13,8 |
13,4 |
14,2 |
13,7 |
14,3 |
13,4 |
13,8 |
13,4 |
13,5 |
14,2 |
13,7 |
13,9 |
13,9 |
13,4 |
13,2 |
Длина интервала h=0,2.
Провести статистическую обработку результатов измерения.