1 Участок: м

кН;

                                                                                                                    .

,     кН;

,     кНм.

II участок: м

,

.

кН,     кН;

кНм,     кНм.

2. Построим эпюры внутренних силовых факторов, откладывая вычисленные значения на графике (рис.6.33,а). Соединим полученные точки прямыми линиями на участках, где аргумент z входит в первой степени и параболами, где z входит во второй степени. Таким образом, эпюра изгибающего момента на первом участке будет криволинейной, остальные участки эпюр будут прямолинейными. Определим опасное сечение балки, т.е. сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения. Опасным сечением будет сечение на опоре, где кН/м.

3. Диаметр круглого сечения найдем из условия прочности

,     ,

м.

Схема б.

1. Для балки, лежащей на двух шарнирных опорах (рис.6.33,б), найдем опорные реакции R_А, Н_А, R_В . Запишем уравнения равновесия статики:

;

;

кН.

;

кН.

Для проверки правильности определения реакций запишем еще одно уравнение равновесия, которое должно тождественно удовлетвориться при правильно найденных значениях реакций.

,

40,06 + 30,38 - 19,2 - 51,2 ≈ 0.

Балка имеет три участка, рассечем каждый из них.

I участок:

,

.

,     кН;

,     кН/м.

II участок: м

,

.

кН,     кН;

кН/м,     кН/м.

2.Построим эпюры, соединяя полученные значения Q_у и М_х. На втором участке ЭМ_х имеет максимум при . Для определения величины максимального момента приравняем нулю выражение поперечной силы на участке, определим величину  и подставим ее в выражение изгибающего момента:

,

м,

кНм

Двутавровое сечение найдем из условия прочности, определив необходимую величину момента сопротивления

,

.

Из сортамента прокатной стали ( ГОСТ 8239-72) выберем двутавр с ,

,     .

 

Составные балки и перемещения при изгибе

Понятие о составных балках

   Работу составных балок проиллюстрируем на простом примере трехслойной балки прямоугольного поперечного сечения. Если слои между собой не связаны и силы трения между ними отсутствуют, то каждый из них деформируется как отдельная балка, имеющая свой нейтральный слой (рис. 6.34, а). Нагрузка между этими балками распределяется пропорционально их жесткостям при изгибе (в данном примере поровну). Это означает, что моменты инерции и моменты сопротивления трех независимо друг от друга деформирующихся балок должны быть просуммированы

   Если скрепить балки сваркой, болтами или другим способом (рис.6.34, б), то с точностью до пренебрежения податливостью наложенных связей сечение балки будет работать как монолитное с моментом инерции и моментом сопротивления, равным

   Как видно, при переходе к монолитному сечению жесткость балки возрастает в девять раз, а прочность—в три раза. В инженерной практике наиболее распространены сварные двутавровые балки.

б) а) несвязанная конструкция, б) связанная сварная конструкция Рис.6.34. Расчетные схемы составных балок:

 

Дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня

   Определено, что мерой деформации призматического стержня при прямом чистом изгибе является кривизна нейтрального слоя. Можно показать, что с достаточной для инженерных расчетов точностью этим тезисом можно пользоваться и в случае прямого поперечного изгиба стержня. Однако для практических целей кроме кривизны необходимо определить вертикальные перемещения центров тяжести отдельных поперечных сечений — прогибов балки v, а иногда и углы поворота этих сечений (рис. 6.29). Вследствие гипотезы плоских сечений угол поворота сечения ( оказывается равным углу наклона касательной к изогнутой оси балки, который в силу малости

   Тогда возникает геометрическая задача: составить уравнение для функции прогиба , зная закон изменения ее кривизны.

Рис.6.35. Расчетная схема определения перемещений при изгибе

    Воспользуемся известным из дифференциальной геометрии выражением для кривизны в прямоугольных декартовых координатах:

                                                                                                                                                                                  (6.1)

   Однако, учитывая, что в инженерной практике применяются достаточно жесткие балки, для которых наибольший прогиб f (рис.6.35) мал по сравнению с длиной (f / l << 1), а первая производная от прогиба имеет порядок

и, следовательно, величиной (dv / dz)²<<1, стоящей в знаменателе (6.1), можно пренебречь, выражение для кривизны упрощается

   Тогда, подставив это выражение в полученную ранее связку кривизны и изгибающего момента — , условившись что ось Oy направлена вверх и согласовав знаки и М_х, приходим к дифференциальному уравнению прямого изгиба балки

известному также как дифференциальное уравнение упругой кривой.

Если учесть точное выражение для кривизны по формуле (6.1), то точное уравнение упругой кривой

является нелинейным дифференциальным уравнением. Поэтому линейное дифференциальное уравнение, описывающее малые прогибы балки, иногда называют линеаризованным уравнением упругой кривой.

   Решение уравнения получаем путем двукратного почленного интегрирования. При первом интегрировании получаем выражение

которое с учетом , дает также закон изменения углов поворота поперечных сечений по длине балки. Повторным интегрированием получаем функцию прогиба

Постоянные интегрирования С и D должны быть найдены из граничных условий.

   Во всех приведенных выше уравнениях функция изгибающего момента М_х(г) предполагалась известной, что возможно лишь для статически определимых балок. Простейшие варианты статически определимых однопролетных балок и соответствующие граничные условия показаны на рис. 6.36. Условия, накладываемые на прогиб и угол поворота сечения, получили название кинематических граничных условий. Как видно, для шарнирно опертой балки требуется, чтобы прогиб на опорах v(0) =v(l) =0, а для консольной балки прогиб и угол поворота сечения в заделке

Рис.6.36. Примеры граничных условий: а) двухопорная, б) консольная балки

    Дифференциальное уравнение неприменимо для расчета статически неопределимых балок, так как содержит неизвестный изгибающий момент М_x появившийся в результате двукратного интегрирования уравнения четвертого порядка

В этом уравнении нагрузка q известна, поэтому его можно получить, учитывая, что

   При интегрировании уравнения необходимо задать четыре граничных условия (по два на каждом конце балки) в том числе так называемые силовые граничные условия — условия, накладываемые на силовые величины (изгибающий момент и поперечную силу), которые выражаются через производные от прогиба. Так как

а с учетом дифференциального соотношения Q_y=dM_x/dz, получаем

   Вернемся к интегрированию уравнения второго порядка. Если имеется несколько участков, для которых правая часть уравнения исходного f(z)=M_x/EJ_x, содержит разные аналитические выражения, то интегрирование усложняется. На рис.6.37 приведена эпюра М_x, содержащая п участков. Для каждого участка независимое интегрирование дает по две константы, а при п участках требуется определить 2n постоянных. Добавляя к двум граничным условиям на опорах 2(n—1) условия непрерывности и гладкости упругой кривой на границе; смежных участков, заключающиеся в равенстве прогибов v и углов поворота сечений dv/dz на этих границах

получим 2п граничных условий, необходимых для нахождения постоянных интегрирования.

Рис.6.37. Расчетная схема балки, содержащая n углов

 

Пример 11. Для консольной балки с сосредоточенной парой M_o на свободном конце найти аналитические выражения для прогибов и углов поворота (рис.6.38).

Рис. 6.38.

 

По дифференциальным уравнениям имеем

.

В заделке прогиб y(0) и угол поворота сечения θ(0) равны нулю. Эти граничные условия будут удовлетворены, если C₁=0 и C₂=0. Следовательно, балка изогнется по дуге параболы:

.

На этом примере наглядно проявляется приближенный характер уравнения, так как при постоянном изгибающем моменте согласно равенству

балка должна изгибаться по дуге окружности радиуса ρ. Однако в пределах длины балки указанные дуги окружности и параболы практически совпадают.

 

Пример 12. Для консольной балки с сосредоточенной силой P на свободном конце найти аналитические выражения для прогибов и углов поворота (рис.6.39).

Рис. 6.39.

Реактивная сила и момент в заделке равны R=P, M_R=Pl. В произвольном сечении на расстоянии x от заделки имеем

.

В заделке прогиб y(0) и угол поворота сечения θ(0) равны нулю. Эти граничные условия будут удовлетворены, если C₁=0 и C₂=0. Окончательно, имеем

.

Максимальные прогиб и угол поворота будут на правом свободном конце балки:

.

Знак минус в формулах для прогиба и угла поворота означает, что прогиб конца консольной балки направлен вниз, а поворот концевого сечения – по часовой стрелке.

 

Пример 13. Для балки нагруженной распределенной нагрузкой найти аналитические выражения для прогибов и углов поворота (рис. 6.40).

 

Рис. 6.40.

 

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении

.

В произвольном сечении на расстоянии x от опоры A имеем

.

Из условия для прогиба на левой опоре

.

Из условия для прогиба на правой опоре

.

Подставив значения C₁ и C₂ в уравнение, получим

.

На рис. 6.40 построены эпюры прогибов и углов поворота, из которых видно, что максимальный прогиб будет в середине балки

.

Максимальные углы поворота будут в опорных сечениях:

               .

 

Пример 14. Определить вертикальное перемещение среднего и угол поворота торцевого сечения консольной балки (рис. 6.41).

Рис. 6.41.

 

Изгибающий момент от заданной нагрузки в текущем сечении M_z(x)= – qx²/2.

При нагружении единичной силой в среднем сечении балка будет иметь два, участка, причем на первом M_z¹(x)=0, а на втором M_z¹(x)= – 1 (x-l). Искомый прогиб в середине балки

.

Для определения угла поворота торцевого сечения приложим в этом сечении единичный момент. Тогда M_z¹(x)=1, искомый угол поворота торца балки

.

Следовательно, торцевое сечение поворачивается не в направлении вращения единичной пары (см. рис. 6.41), а в противоположную сторону - по часовой стрелке.