4. Выявление тенденции развития факторного признака. Расчет параметров уравнения тренда методом наименьших квадратов.
4.1 Расчет параметров уравнения тренда для линейной функции х=a+bt
Параметры a и b определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений:
Для решения этой системы уравнений заполняется таблица:
t |
х |
t2 |
xt |
1 |
2,503 |
1 |
2,503 |
2 |
1,767 |
4 |
3,534 |
3 |
2,592 |
9 |
7,776 |
4 |
2,238 |
16 |
8,952 |
5 |
2,651 |
25 |
13,255 |
6 |
2,415 |
36 |
14,49 |
7 |
2,798 |
49 |
19,586 |
8 |
2,739 |
64 |
21,912 |
∑36 |
∑19,703 |
∑204 |
∑92,008 |
Проверка:
После
того, как параметры a и b
найдены, запишем уравнение линейного
тренда для линейной функции:
(t)=2,1+0,08t.
Далее рассчитаем коэффициент рассеяния Q1 по формуле:
(4.1)
Для этого составим таблицу для расчетов:
t |
х |
|
xi- |
(xi- )2 |
1 |
2,503 |
2,184167 |
0,318833 |
0,101654482 |
2 |
1,767 |
2,263798 |
-0,4968 |
0,246808253 |
3 |
2,592 |
2,343429 |
0,248571 |
0,061787542 |
4 |
2,238 |
2,42306 |
-0,18506 |
0,034247204 |
5 |
2,651 |
2,502691 |
0,148309 |
0,021995559 |
6 |
2,415 |
2,582322 |
-0,16732 |
0,027996652 |
7 |
2,798 |
2,661953 |
0,136047 |
0,018508786 |
8 |
2,739 |
2,741584 |
-0,00258 |
6,67706E-06 |
|
|
|
|
∑0,513005155 |
Получили Q1=0,513005155.
4.2 Расчет параметров уравнения тренда для показательной функции x=abt
Параметры a и b определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений:
Для решения этой системы уравнений заполняется таблица:
t |
х |
t2 |
lg x |
t*lgx |
1 |
2,503 |
1 |
0,39846085 |
0,398461 |
2 |
1,767 |
4 |
0,24723655 |
0,494473 |
3 |
2,592 |
9 |
0,413635 |
1,240905 |
4 |
2,238 |
16 |
0,34986008 |
1,39944 |
5 |
2,651 |
25 |
0,42340973 |
2,117049 |
6 |
2,415 |
36 |
0,38291714 |
2,297503 |
7 |
2,798 |
49 |
0,44684771 |
3,127934 |
8 |
2,739 |
64 |
0,43759203 |
3,500736 |
∑36 |
|
∑204 |
∑3,09995908 |
∑14,5765 |
Проверка: 
После того, как параметры a и b найдены, запишем уравнение тренда для показательной функции: (t)=2,1·1,03t.
Далее рассчитаем коэффициент рассеяния Q2 по формуле (4.1)
Для этого составим таблицу для расчетов:
t |
х |
|
xi- |
(xi- )2 |
0 |
|
|
|
|
1 |
2,503 |
2,16300 |
0,34000000 |
0,11560000 |
2 |
1,767 |
2,22789 |
-0,46089000 |
0,21241959 |
3 |
2,592 |
2,29473 |
0,29727000 |
0,08836945 |
4 |
2,238 |
2,36357 |
-0,12557000 |
0,01576782 |
5 |
2,651 |
2,43448 |
0,21652000 |
0,04688091 |
6 |
2,415 |
2,50751 |
-0,09251000 |
0,00855810 |
7 |
2,798 |
2,58274 |
0,21526000 |
0,04633687 |
8 |
2,739 |
2,66022 |
0,07878000 |
0,00620629 |
|
|
|
|
∑0,54013904
|
Q2=0,54013904
4.3 Расчет параметров уравнения тренда для квадратичной параболы х=a+bt+сt2
Параметры a и b определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений:
Для решения этой системы уравнений заполняется таблица:
T |
х |
t2 |
t3 |
t4 |
x·t |
x*t2 |
1 |
2,503 |
1 |
1 |
1 |
2,503 |
2,503 |
2 |
1,767 |
4 |
8 |
16 |
3,534 |
7,068 |
3 |
2,592 |
9 |
27 |
81 |
7,776 |
23,328 |
4 |
2,238 |
16 |
64 |
256 |
8,952 |
35,808 |
5 |
2,651 |
25 |
125 |
625 |
13,255 |
66,275 |
6 |
2,415 |
36 |
216 |
1296 |
14,49 |
86,94 |
7 |
2,798 |
49 |
343 |
2401 |
19,586 |
137,102 |
8 |
2,739 |
64 |
512 |
4096 |
21,912 |
175,296 |
∑36 |
∑19,703 |
∑204 |
∑1296 |
∑8772 |
∑92,008 |
∑534,32 |
Чтобы убедиться в правильности вычислений, выполним проверку:
После того, как параметры a, b и c найдены, запишем уравнение тренда для квадратичной параболы: (t)=0,88+0,64t-0,05t2.
Затем определим коэффициент рассеяния Q3 по формуле (4.1).
t |
х |
|
xi- |
(xi- )2 |
1 |
2,503 |
1,47 |
1,033 |
1,067089 |
2 |
1,767 |
1,96 |
-0,193 |
0,037249 |
3 |
2,592 |
2,35 |
0,242 |
0,058564 |
4 |
2,238 |
2,64 |
-0,402 |
0,161604 |
5 |
2,651 |
2,83 |
-0,179 |
0,032041 |
6 |
2,415 |
2,92 |
-0,505 |
0,255025 |
7 |
2,798 |
2,91 |
-0,112 |
0,012544 |
8 |
2,739 |
2,8 |
-0,061 |
0,003721 |
|
|
|
|
∑1,627837 |
Q3=1,627837.