- •Конспект лекций
- •Введение. Понятие о численных методах. История развития численных методов.
- •Интерполяция функций.
- •Постановка задачи.
- •Конечные разности различных порядков.
- •Диагональная таблица
- •Первая интерполяционная формула Ньютона.
- •Горизонтальная таблица разностей.
- •Вторая интерполяционная формула Ньютона.
- •Горизонтальная таблица разностей.
- •Общая характеристика интерполяционных формул с постоянным шагом.
- •Интерполяционная формула Лагранжа.
- •Частные случаи.
- •Формула Ньютона для неравностоящих узлов Разделённые разности
- •Интерполяционная формула Ньютона для неравностоящих значений аргумента
- •Погрешность формулы Ньютона для неравностоящих узлов
- •Интерполяция сплайками
- •Многочлены Чебышева
- •Выбор узлов интерполирования
- •Обратное интерполирование для равноотстоящих узлов
- •Обратное интерполирование для неравноотстоящих точек
- •Общие выводы по задаче интерполяции
- •Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа
- •Решение системы линейных уравнений Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений
- •Прямой метод
- •По правилу Крамера
- •Метод Гаусса. Схема единственного деления
- •Трудоёмкость метода Гаусса
- •Метод Гаусса. Схема с выбором главного элемента
- •Достоинства метода
- •Метод итераций
- •Сходимость метода итераций для решения системы алгебраических уравнений
- •Достоинства метода итераций
- •Метод Зейделя
- •Численное решение систем нелинейных уравнений Постановка задачи
- •Метод Ньютона
- •Сходимость метода Ньютона
- •Теорема о существовании корней и сходимости процесса Ньютона
- •Градиент функции u
- •1 Итерация
- •2 Итерация
- •Сходимость градиентного метода
- •Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера.
- •Особенности метода Эйлера.
- •Первая улучшенная формула Эйлера
- •Вторая улучшенная формула Эйлера
- •Метод Рунге-Кутта.
- •Методы обработки экспериментальных данных. Постановка задачи
- •Узловые точки
- •Класс функций
- •Критерий согласия
- •Среднеквадратичный критерий
- •Минимаксный критерий или критерий чебышева
- •Линейная функция.
- •Квадратный трехчлен.
- •Степенная функция
- •Показательная функция.
- •Логарифмическая функция.
- •Дробно-линейная функция.
- •Гипербола.
- •Дробно-рациональная.
Метод Гаусса. Схема с выбором главного элемента
Выбираем элемент - наибольший по модулю и неявляющийся свободным членом.
Вычисляем коэффициенты
, для всех
-тая строка называется главной строкой.
Из каждой неглавной строки вычитаем главную строку, умноженную на . В результате получим матрицу, у которой в -ом столбце все коэффициенты нулевые.
Преобразуем матрицу следующим образом: отбрасываем - (главную) строку и -й столбец. Получим матрицу .
Делаем подобные преобразования над матрицей до тех пор, пока не получим одну строку из двух столбцов, которая является главной.
Для определения . Объединим все главные строки, начиная с последней. После надлежащего изменения неизвестных получается система с треугольной матрицой.
При работе на ЭВМ при вывод главного элемента может оказаться достаточно трудоёмкой задачей. Поэтому практически в качестве главной строки берут первую строку, а в качестве главного элемента - наибольший по модулю элемент этой строки.
Пример:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-0,6 |
3 |
1 |
-1 |
2 |
6 |
11 |
I |
2 |
|
5 |
1 |
3 |
-4 |
-12 |
-17 |
|
3 |
-0,4 |
2 |
0 |
1 |
-1 |
1 |
3 |
|
4 |
-0,2 |
1 |
-5 |
3 |
-3 |
3 |
-1 |
|
1 |
-0,333 |
|
1,6 |
0,8 |
-0,4 |
-1,2 |
0,8 |
II |
2 |
-0,083 |
|
0,4 |
2,2 |
-2,6 |
-3,8 |
-3,8 |
|
3 |
|
|
-4,8 |
3,6 |
-3,8 |
0,6 |
-4,4 |
III |
1 |
0,571 |
|
|
2,0 |
-1,665 |
-1,0 |
-0,665 |
|
2 |
|
|
|
2,5 |
-2,915 |
-3,75 |
-4,165 |
IV |
1 |
|
|
|
0,572 |
|
1,141 |
1,713 |
V |
|
|
|
|
1 |
|
2,0 |
3 |
VI |
|
|
|
|
|
1 |
3,0 |
4 |
VII |
|
|
|
1 |
|
|
-1,0 |
0 |
VIII |
|
|
1 |
|
|
|
1,0 |
2 |