1.3.Пример выполнения задания
Исходные данные для расчета:
Схема электрической цепи представлена на рис. 1.
Параметры элементов схемы: Е= 220 В , f= 50 Гц, С 1 = 825 мкФ, С2 = 250 мкФ,
L 1= 25 мГн , L 2 =30 мГн , L3 = 20 мГн , r 1= 8,18 Ом , r 2= 10 Ом , r 3= 20 Ом .
1.3.1. Составление уравнений по законам Кирхгофа.
Количество уравнений по 1-му закону равно числу узлов, уменьшенному на единицу ( 2-1=1).
Количество уравнений по 2-му закону равно числу ветвей, уменьшенному на
количество уравнений, составленных по 1-му закону ( 3-1=2).
Система уравнений в интегро-дифференциальной форме:
i 1 = i 2 + i 3
e = r 1
i 1 +
1/C1
1
dt + u
C1 ( 0) + L
1 di
1/dt + L
3 di 3/dt
+ r3 i
3
0 = r 2 i 2 + L 2 di 2/dt + 1/C2 2 dt+ u C2 ( 0) - L 3 di3 /dt - r3 i 3
Система уравнений в комплексной форме:
Í1 =Í2 + Í3
É = ( r1 + j x L1 – j x C1 ) Í 1 + ( r3 + j x L3 ) Í 3
0 = ( r2 + j x L2 – j x C2 ) Í 2 - ( r3 + j x L3 ) Í 3
1.3.2. Расчет токов в цепи в комплексной форме.
Сопротивления ветвей:
Z 1 = ( r1 + j x L1 – j x C1 ) = 8,18 – j 3,86 + j 7,85= 8,18 + j 3,99 ( Ом)
j x L1 = j 2 п f L 1 = j 2 ∙3,14·50·25∙10 -3 =j 7, 85 ( Ом)
– j x C1 = - j 1 / 2п f C 1 = - j 1/ 2· 3,14· 50 · 825· 10 – 6 = - j 3,86 ( Ом )
Z 2 = r2 + j x L2 – j x C2 = 10+ j 2 п f L 2 - j 1 / 2п f C 2 =
= 10 + j 2 ∙3,14· 30· 50∙10 -3 - j 1/ 2· 3,14· 50 · 250· 10 – 6 = 10 – j 3,32 ( Ом )
Z 3 = r3 + j x L3 = 20 + j 2 п f L 3= 20 + j 2 ∙3,14· 50· 20∙10 -3 = 20 + j 6, 28 ( Ом)
Нахождение полного комплексного сопротивления:
(10 – j 3,32) (20 + j 6, 28)
Z = Z 1 + Z 2 Z 3 / Z 2 +Z 3 = 8,18 + j 3,99 + ------------------------------------ =
(10 – j 3,32) + (20 + j 6, 28)
= 15,45 + j 3,17 ( Ом)
10
Ток в неразветвленной части цепи:
Í 1 = É / Z 1 = 220 / 15,45 + j 3,17 = 13,66 - j 2,78 ( А )
Напряжение разветвленной части цепи:
Ú АВ = É - Z 1 Í 1 = 220 – ( 8,18 + j 3,99 ) ( 13,66 - j 2,78 ) = 97,08- j 31,76 ( В )
Токи в ветвях:
Í 2 = Ú АВ / Z 2 =( 97,08-j 31,76) / (10 – j 3,32) = ( 9,69 + j 0,05 ) ( А)
Í 3 = Ú АВ / Z 3 =( 97,08-j 31,76) / ( 20 + j 6, 28 ) = ( 3,97 – j 2,83) ( А)
Проверка по первому закону Кирхгофа:
Í 1 = Í 2 + Í 3 = ( 9,69 + j 0,05 ) + (3,97 – 2,83) = 13,66 – j 2,78 ( А)
1.3.3.Баланс активных и реактивных мощностей.
Комплексная мощность источника:
Ś = Éi ∙ Îi = 220 ∙ (13,66 + j 2,78) = 3005,2+j 616,6 ( ВА)
Активная мощность источника Р i = 3005, 2 Вт
Реактивная мощность источника Q i = 611, 6 Вар
Комплексные мощности приемников:
Ś 1 ПР = Z1 ∙ Í 1 Î1 = ( 8,18 + j 3,99 ) ( 13,66 - j 2,78 ) ( 13,66 + j 2,78 ) =
= 1590,8 + j 775,56 ( ВА)
Ś 2 ПР = Z2 ∙ Í 2 Î2 = (10 – j 3,32) ( 9,69 + j 0,05 ) ( 9,69 - j 0,05 ) =
= 939,01 - j 312,6 ( ВА)
Ś 3 ПР = Z3 ∙ Í 3 Î3 = ( 20 + j 6, 28 ) (3,97 – j 2,83) (3,97 +j 2,83) =
= 475,28 + j 148,65 ( ВА)
Комплексная мощность всех приемников:
Ś ПР = Ś 1 ПР + Ś 2 ПР + Ś 3 ПР =1590,8 + j 775,56 + 939,01 - j 312,6 +
+ 475,28 + j 148,65 = 3005,09 + j 611, 61 ( ВА)
Активная мощность потребителей Р = 3005, 09 Вт
Реактивная мощность потребителей Q = 611, 61 Вар