21. Дії з комплексними числами

 Из определения сложения пар (1) и алгебраической формы записикомплексного числа (3) следуют правила сложения и умножениякомплексных чисел в алгебраической форме записи. Пусть  ,   – произвольные комплексные числа. Тогда

(4)      

(5)        Заметим, что этот же результат можно получить пользуясь доказанной теоремой. Множество комплексных чисел образует поле. В полесправедливы законы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Рассматриваем каждое комплексное число как в замечании в конце п.2. – как результат сложения двух комплексныхчисел. Тогда

.

. Здесь мы воспользовались равенством  .

   Таким образом, нет нужды запоминать правила сложения (4) и особенно умножения (5). Далее, понятно, что   – нулевой элемент,   – противоположный.

   Определяем операцию вычитания, как сложение с противоположным:.

   Примеры. 1). ,  ,  , , .

2). Решить уравнение в поле комплексных чисел:        .

Решение. Находим искриминант  . По формуле корнейквадратного уравнения находим корни:

. Ответ: 

   Замечание. Здесь мы использовали равенство  , откуда  .

   Определим операцию деления в любом поле К как умножение на обратный элемент:   положим по определению   и    .