4.2. Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

Пусть L=AB – гладкая кривая, а Р(х,у) – некоторая функция, определенная в точках кривой L. Разобьем кривую L на n произвольных частей точками А=М₀, М₁,…, М_n=В. Далее на каждой из полученных дуг M_i_-₁M_i выберем произвольную точку , после чего составим произведение значение функции Р(х;у) в точке на проекцию этой дуги на ось Ох. Складывая все такие произведения, получим сумму , которая называется интегральной суммой второго рода для функции Р(х,у) по координате х.

Пусть теперь d – наибольшая из длин дуг M_i_-₁M_i. Предел интегральной суммы S_n_,_x при d0 (n), не зависящий от способа разбиения кривой на части и выбора точек , называется криволинейным интегралом второго рода по координате х и обозначается .

Аналогично определяется криволинейный интеграл второго рода по координатеу, который обозначается .

Сумма криволинейных интегралов и называется полным криволинейным интегралом второго рода и обозначается + .

Криволинейные интегралы второго рода называют также криволинейными интегралами по координатам.

Криволинейные интегралы второго рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. В частности,

, т.е. криволинейный интеграл II рода меняет знак при изменении направления интегрирования.

Вычисление криволинейных интегралов II рода

Если кривая L задана в явном виде непрерывно дифференцируемой функцией у=у(х), х[a,b], то

Если кривая L задается параметрическими уравнениями х=х(t), y=y(t), t[,], то

Формула Грина преобразует криволинейный интеграл по замкнутому контуру L в двойной интеграл по области Д, ограниченной этим контуром. Здесь предполагается, что обход границы L области Д совершается в положительном направлении, т.е. при таком обходе границы область Д остается слева; для односвязной области (области без «дыр») это направление совпадает с направлением против часовой стрелки.

Приложения криволинейного интеграла II рода

Случай полного дифференциала

Пусть А и В – произвольные точки области Д, АmВ и АnВ – два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис.8.)

Тогда следующие условия равносильны.

1) (условие Грина).

2) (криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования).

3) (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю).

4) Pdx+Qdy=dU (выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторой функции U=U(x,y)).

2. Механическое значение криволинейного интеграла II рода

Интеграл вида определяет работу при перемещении единицы массы по кривой L в поле, образованном силой .

3. Площадь области, ограниченной контуром L, может быть вычислена по формуле: .

_______________________

Даны точки А(2;2); В(2;0). Вычислить : а) по прямой ОА; б) по дуге параболы ; в) по ломаной ОВА.
Даны точки А(3;6); В(3;0); С(0;6). Вычислить криволинейный интеграл , где: а) L – отрезок ОА; б) L – ломаная ОВА; в) L – ломаная ОСА; г) L – дуга ОА параболы ; д) проверить выполняемость условия Грина.
Показать, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить его.
Даны точки А(-2;0) и В((0;2). Вычислить работу силы при перемещении единицы массы: а) по прямой АВ; б) по ломаной АОВ; в) по дуге АВ параболы .
Вычислить работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса из точки С(а;0) в точку В(-а;0).
Показать, что по любому замкнутому контуру равен нулю. Проверить, вычислив интеграл по контуру фигуры, ограниченной линиями у=х² и у=4.
Написать и проверить формулу Грина для интеграла , взятого по контуру треугольника со сторонами х=0, у=0, х+у=а.
С помощью криволинейного интеграла определить площадь фигуры, ограниченной астроидой x=acos³t, y=asin³t.