- •1.2. Этапы приближенного решения нелинейных уравнений.
- •1.3. Уточнение корней методом деления отрезка пополам.
- •1.4. Уточнение корней методом касательных.
- •1.5. Уточнение корней методом хорд.
- •2. Нахождение арифметического корня натуральной степени с заданной точностью.
- •3. Практикум. Численные методы решения нелинейных уравнений.
- •Литература.
1.4. Уточнение корней методом касательных.
Пусть корень уравнения f (x) = 0 отделен на отрезке . Необходимым условием сходимости метода является то, что производные и непрерывны и сохраняют постоянные знаки.
Алгоритм приближенного вычисления корня методом касательных.
Исходные данные:
f (x) – функция;
f ‘(x) – производная заданной функции f (x);
ε – требуемая точность;
x0 – начальное приближение.
Результат: xпр – приближенный корень уравнения f (x) = 0.
Метод решения:
Рассмотрим случай, когда , т.е. и имеют одинаковые знаки. Тогда возможны два случая построения кривой на отрезке (рис 8).
Проведем касательную к кривой y =f (x) в точке В0(b; f(b)). В курсе алгебры выводится уравнение касательной.
Уравнение касательной в точке В0 имеет вид . В качестве очередного приближения к корню уравнения берем точку пересечения касательной с осью Оx. Полагая y = 0, найдем . Теперь . Применяя метод еще раз для отрезка , получим .
Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню:
(3)
Рис. 8. Геометрическая интерпретация метода касательных для случая .
Обратим внимание, что в этом случае в качестве начального приближения к корню выбираем точку x0 = b. Приближение к коню происходит с правой стороны, поэтому получаем приближенное значение корня с избытком.
Пусть теперь , т.е. и имеют разные знаки. Тогда также возможны два случая построения кривой на отрезке (рис 9).
A0
B0
Рис. 9. Геометрическая интерпретация метода касательных для случая .
Если снова провести касательную к кривой в точке В0, то она пересечет ось Ох в точке не принадлежащей отрезку . Поэтому проведем касательную в точке . Ее уравнение . Находим x1, полагая y = 0: . Корень . Применяя метод еще раз для отрезка , получим .
Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню, аналогичную первому случаю:
В данном случае в качестве начального приближения к корню выбираем точку x0 = a. Приближение к коню происходит с левой стороны, поэтому находим приближенное значение корня с недостатком.
Заметим, что вычислительные формулы метода отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за x0 принимаем конец b отрезка, во втором – конец a.
Убедитесь сами, что при выборе начального приближения корня можно руководствоваться правилом: за исходную точку следует выбрать тот конец отрезка , в котором знак функции совпадает со знаком второй производной (см. рисунки 8,9).
Условие окончания вычислительного процесса: , где ε - заданная точность. Тогда xпр = xn+1 с точностью ε.
1.5. Уточнение корней методом хорд.
Пусть на отрезке функция непрерывна, принимает на концах отрезка значение разных знаков, а производная сохраняет знак. В зависимости от знака второй производной возможны следующие случаи расположения кривых (рис. 10).
Рис. 10. Возможные случаи расположения кривых.
Алгоритм приближенного вычисления корня методом хорд.
Исходные данные:
f (x) – функция;
ε – требуемая точность;
x0 – начальное приближение.
Результат: xпр – приближенный корень уравнения f (x) = 0.
Метод решения:
Рассмотрим случай, когда и имеют одинаковые знаки (рис. 11).
Рис. 11. Геометрическая интерпретация метода хорд для случая .
График функции проходит через точки и . Искомый корень уравнения (точка x*) нам неизвестен, вместо него возьмет точку х1 пересечения хорды А0В0 с осью абсцисс. Это и будет приближенное значение корня.
В аналитической геометрии выводится формула, задающая уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (х1; у1) и (х2; у2): .
Тогда уравнение хорды А0В0 запишется в виде: .
Найдем значение х = х1, для которого у = 0: . Теперь корень находится на отрезке . Применим метод хорд к этому отрезку. Проведем хорду, соединяющую точки и , и найдем х2 - точку пересечения хорды А1В0 с осью Ох: .
Продолжая этот процесс, находим: . Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню .
В этом случае конец b отрезка остается неподвижным, а конец a перемещается.
Таким образом, получаем расчетные формулы метода хорд:
; . (4)
Вычисления очередных приближений к точному корню уравнения продолжается до тех пор, пока не достигнем заданной точности, т.е. должно выполняться условие: , где - заданная точность.
Теперь рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. (рис. 12).
Р ис. 12. Геометрическая интерпретация метода хорд для случая .
Соединим точки и хордой А0В0. Точку пересечения хорды с осью Ох будем считать первым приближение корня. В этом случае неподвижным концом отрезка будет являться конец а.
Уравнение хорды А0В0: . Отсюда найдем , полагая y = 0: . Теперь корень уравнения . Применяя метод хорд к этому отрезку, получим . Продолжая и т.д., получим .
Расчетные формулы метода:
, . (5)
Условие окончания вычислений: . Тогда хпр = xn+1 с точностью .
Итак, если приближенное значение корня находят по формуле (4), если , то по формуле (5).
Практический выбор той или иной формулы осуществляется, пользуясь следующим правилом: неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.
Пример 4. Проиллюстрировать действие этого правила на уравнении , если отрезок изоляции корня [2;3].
Решение. Здесь .
; . Вторая производная в этом примере положительна на отрезке изоляции корня [2;3]: , , т.е. . Таким образом, при решении данного уравнения методом хорд для уточнения корня выбираем формулы (4).