Тема 11. Аналіз тенденцій розвитку

11.1. Основні прийоми аналізу рядів динаміки

11.2. Вимірювання сезонних коливань

11.1. Основні прийоми аналізу рядів динаміки

Виявлення основної тенденції (тренду) ряду є одним з головних методів аналізу та узагальнення динамічних рядів. Лінія тренду динамічного ряду вказує на змінення досліджуваного явища в часі, без короткочасних відхилень, спричинених різними факторами. У статистичній практиці основну тенденцію розвитку явищ в часі знаходять за методами збільшення інтервалів, ковзної середньої та аналітичного згладжування.

Важливим способом виявлення загальної тенденції ряду динаміки є згладжування. Існує два методи згладжування:

1. згладжування за допомогою ковзної (плинної) середньої.

Тут вдаються до обчислення середньої за збільшеним періодом, шляхом послідовних зміщень на одну дату при збереженні постійного інтервалу періоду, тобто кожен емпіричний рівень заміщується середнім.

2. згладжування за допомогою ступінчастої середньої.

Тут також вдаються до обчислення середньої за збільшеним періодом, але шляхом ступінчастих зміщень при збереженні постійного інтервалу періоду, тобто один з трьох емпіричних рівнів заміщується середнім.

Найефективнішим є складний спосіб виявлення основної тенденції — аналітичне вирівнювання.

В цьому разі рівні ряду динаміки розглядають як функцію часу Y_t =f(t), а задача згладжування зводиться до знаходження такого вигляду функції, ординати точок якої були б найближчі до значень фактичного динамічного ряду.

На практиці найпоширенішими формулами, які описують тенденцію розвитку (тренд) явищ, є: пряма, показникова функція, парабола другого і третього порядків, гіпербола, логістична функція, експонента, ряд Фур'є та деякі інші.

Згладжування за прямою використовують у тих випадках, коли абсолютні прирости більш-менш сталі, тобто коли рівні динамічного ряду змінюються в арифметичній прогресії або наближуються до неї.

Рівняння згладженої прямої динамічного ряду має вигляд:

Y_t=a₀ + a₁t, (8.4.1)

де a₀ і a₁ — параметри прямої (початковий рівень і приріст щороку);

t — час.

Для знаходження параметрів а₀ і а₁ потрібно розв'язати за спосо­бом найменших квадратів систему нормальних рівнянь:

Σy= па₀ + а₁Σ t,

Σyt=а₀Σt+a_l Σ t², (8.4.2)

де у— фактичні рівні динамічного ряду;

п — число членів ряду динаміки.

Дану систему нормальних рівнянь можна легко спростити, якщо відлік часу брати з середини ряду таким чином, аби сума часу дорівнювала нулю: Σ t = 0.

При непарному числі рівнів серединну точку приймають за нуль, тоді попередні періоди позначаються відповідно -1, -2, -3 і т. д., а наступні за серединним періодом —відповідно +1, +2, +3 і т. д.

При парному числі рівнів динамічного ряду два серединних моменти часу позначають -1 і +1, решту —двома інтервалами, тобто попередні періоди до середини як -3, -5, -7 і т. д., а наступні — відповідно +3, +5, +7 і т. д. -

У разі відліку часу від середини ряду, коли Σ t = 0, система рівнянь для знаходження параметрів а₀ і а₁ має такий вигляд:

Σy= па₀ ,

Σyt=a_l Σ t², (8.4.3)

звідки

а₀= Σy / п, (8.4.4.)

a_l= Σyt / Σ t², (8.4.5.)

До основних кривих, які використовують для аналітичного зглад­жування динамічних рядів, відносять: гіперболу, параболу другого і третього порядків, показникову функцію та деякі інші.

Згладжування за гіперболою доречно тоді, коли із плином часу ряд динаміки зростає або спадає до певної межі. Рівняння гіперболи відповідає формулі

(8.4.6)

Для знаходження параметрів а₀ і а₁ в даному рівнянні способом найменших квадратів застосовують систему нормальних рівнянь:

Σy= па₀ + а₁Σ ,

Σy =а₀Σt+a_l Σ , (8.4.7)

У разі згладжування за параболою другого порядку:

Y_t = a₀ + a₁ t + a₂t², (8.4.8)

параметри а₀, а₁ і а₂ визначають способом найменших квадратів, для чого складають і розв'язують систему нормальних рівнянь:

Σy =па₀ + а Σt +a₂Σ t²;

Σyt=a₀Σt + a₁Σt² + a₂Σt³;

Σyt²=a₀Σt² + a₁Σt³ + a₂Σt⁴, (8.4.9)

Згладжування за показниковою функцією здійснюють у тих ви­падках, коли динамічний ряд розвивається за геометричною прогресією, тобто коли ланцюгові темпи зростання більш-менш сталі.

Показникову функцію, яку застосовують для згладжування дина­мічного ряду, описує рівняння

(8.4.10)

Для визначення параметрів а₀ і а₁ цього рівняння методом най­менших квадратів попередньо логарифмують рівні, потім логарифми показникової функції описують лінійною функцією:

lg y_t = lga₀ + t lgа₁,ь (8.4.11)

Система нормальних рівнянь у даному випадку має такий вигляд:

Σlgy= пlgа₀ + lgа₁Σ t,

Σtlgy=lgа₀Σt+lga_l Σ t², (8.4.12)

11.2. Вимірювання сезонних коливань

Сезонним коливанням називають більш-менш стійкі внутрішньо-річні коливання в рядах динаміки, зумовлені специфічними умовами виробництва чи споживання певного виду продукції.

Для дослідження внутршньорічних коливань можна використовувати різні методи (простої середньої, Персонса, ковзної середньої, аналітичного згладжування, рядів Фур'є), які дають змогу оцінити сезонність з різною точністю, надійністю та трудомісткістю.

Сезонні коливання характеризуються спеціальним показником, який називають індексом сезонності І_t .

В сукупності ці індекси утворюють сезонну хвилю.

Індекс сезонності — це процентне відношення однойменних місячних (квартальних) фактичних рівнів рядів динаміки до їх середньо­річних або вирівняних рівнів.

Індекс сезонності (сезонну хвилю) обчислюється двома способами:

1. Спосіб змінної середньої

І_t= (8.5.1)

2. Спосіб постійної середньої

І_t= (8.5.2)