- •1. Прямоугольный треугольник.
- •2. Правильный треугольник.
- •3. Треугольник.
- •4. Параллелограмм.
- •6. Квадрат.
- •7. Правильный шестиугольник.
- •8. Прямоугольник.
- •9. Трапеция.
- •10. Окружность.
- •11. Теорема Фалеса.
- •12. Параллельные прямые.
- •13. Углы.
- •14. Векторы и координаты.
- •15. Формулы площади.
- •16. Свойства корней.
- •17. Корни натуральной степени.
- •18. Тригонометрия.
- •19. Формулы сокращённого умножения.
- •20. Свойства степеней.
- •21. Квадратные уравнения.
- •22. Модуль.
- •23. Иррациональные уравнения.
- •24. Прогрессии.
22. Модуль.
a , если a≥0
Определение
-a, если a<0
РАСКРЫТИЕ МОДУЛЯ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ
Пример. |х-2|
Если х-2 ≥0, т.е.х≥2,то |х-2|= х-2.
Если х - 2 < 0, т.е. х<2, то |х-2|= -(х-2) = 2-х.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МОДУЛЯ
1. |а|≥0 3. |ab|= |a|∙|b|
2. |а-b|=|b-а| 4. |а-b|2=(а-b)2.
Геометрический смысл модуля
|а|— это расстояние от точки А(а) до начала отсчета.
|а-b| — это расстояние между точками А(а) и В(b).
УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ.
1. |x|=а.
а) если а ≥0, то х = а или х = - а
б) если а < 0, то корней нет.
2. |x-b|=а.
а) если а ≥0,то х-b = а или х - b = - а, (решаем каждое уравнение),
б) если а < 0, то корней нет.
3. |f(x)|= |g(x)|.
f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
4. |f(x)|= g(x).
f(x) = g(x) и g(x) ≥ 0 или
f(x) = -g(x) и g(x)≥0.
НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
1. |f(x)| <a
а) если a ≥ 0, то - a < f(x) < a.
б) если а < 0, то решений нет
Пример. |2x-3|<5.
-5<2x-3<5, -2<2x<8, -1<x<4.
2. |f(x)|≥a
а) если а > 0, то f(x) ≥ а или f(x) ≤ - а
б) если а ≤ 0, то х R.
Пример. |x+1|>2.
x+l>2 или x + 1<-2
х>1 х<-3
Ответ:
3. |f(x)|<g(x)
- g(x)<f(x)<g(x)
4 . |f(x)|>g(x) f(x)> g(x) или f(x)<-g(x)
Неравенства |f(x)|> |g(x)|и f(x)2> g(x)2 равносильны.
23. Иррациональные уравнения.
Пример 1. Пример 2.
2x +1 = 9 корней нет
x= 4
У равнение равносильно системе:
У равнение равносильно системе:
Неравенство в системе, обычно, проверяют, а не решают.
24. Прогрессии.
Арифметическая прогрессия: (аn), аn=an-1+d, где d— разность арифметической прогрессии,
аn=a1+(n-1)d.
Формулы суммы n первых членов прогрессии , .
Свойство: …..,аn-1, an, an+1,….., тогда .
Геометрическая прогрессия: (bn), bn=b1∙qn-1, где q — знаменатель Г.П.
Формулы суммы n первых членов прогрессии: , , q 1.
Свойство: …..,bn-1, bn, bn+1,…..,
Пусть (bn) ─ бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, тогда сумму этой прогрессии находят по формуле: S= , где .