43) Несобственные интегралы.

Пусть   определена и непрерывна на множестве от   и  . Тогда:

1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае   называется сходящимся.

2. Если не существует конечного   (  или  ), то интеграл   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Пусть   определена и непрерывна на множестве от   и  . Тогда:

1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае   называется сходящимся.

2. Если не существует конечного   (  или  ), то интеграл   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Если функция   определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с — произвольное число.

44) Двойные интегралы, определение, вычисление.

Определение

Вычисление

. Если функция   непрерывна в замкнутой области  , ограниченной линиями x = a, y = b (a < b),      и   - непрерывные функции на отрезке [a, b], причем  на этом отрезке), то имеет место равенство

 (1) Интегрирование биноминальных дифференциалов Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

позволяющее вычисление двойного интеграла свести к последовательному вычислению определенного интеграла от определенного интеграла (или, короче, к вычислению повторного интеграла).

Повторный интеграл, стоящий в правой части равенства (1), обычно записывают в виде:

45. Замена переменных в двойном интеграле.

 Пусть даны две плоскости с выбранными на них прямоугольными декартовыми системами координат UOV и XOY. Рассмотрим две (ограниченные или неограниченные) области   и  , лежащие соответственно в плоскостях UOV иXOY, и предположим, что функции

 (1)

устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками этих областей. Это значит, что каждой точке (u0, v0) области   соответствует одна определенная точка (x0,y0), где   области  , называемая образом точки (u0, v0), и, наоборот, каждой точке (x0,y0) области   соответствует одна определенная точка (u0, v0) области   [именно та точка, образом которой является точка (x0,y0)]. Будем говорить, что формулы (1) задают взаимно однозначное отображение области   на область   (и наоборот).

Пусть функции   и   непрерывны в области   вместе со своими частными производными первого порядка. Тогда определитель

будет непрерывной функцией переменных u и v, определенной в области  . Этот функциональный определитель, называемый определителем Якоби, или якобианом отображения (1), принято обозначать   или символом   похожим на символ, обозначающий производную.

45. Тройные интегралы, определение, вычисление

Определение

Определение тройного интеграла Формально определение тройного интеграла можно ввести аналогично двойному интегралу как предел суммы Римана. Начнем с простейшего случая, когда область интегрирования U имеет вид параллелепипеда 

Пусть множество чисел {x₀, x₁, ..., x_m} разбивает отрезок [a, b] на малые интервалы, так что справедливо соотношение   Аналогично построим разбиение отрезка [c, d] вдоль оси Oy и [p, q] вдоль оси Oz:   Сумма Римана функции f (x,y,z) над разбиением   имеет вид   Здесь (u_i , v_j , w_k) - некоторая точка в параллелепипеде (x_i−1, x_i)×(y_i−1, y_i)×(z_i−1, z_i), а приращения равны   Тройной интеграл от функции f (x,y,z) в параллелепипеде   определяется как предел суммы Римана, при котором максимальное значение приращений Δx_i, Δy_j и Δz_k стремятся к нулю:   Чтобы определить тройной интеграл в произвольной области U, выберем параллелепипед  , включающий заданную область U. Введем функцию g (x,y,z), такую, что  Тогда тройной интеграл от функции функции f (x,y,z) в произвольной области U определяется в виде: 

Скалярное и векторное поле. Определение и основные свойства градиента, дивергенции, ротора, потока и циркуляции векторного поля

Скалярное и векторное поле.

Определение.Скалярное поле на области  ( ) представляет собой произвольную функцию  , определенную на  .

Поверхности уровня скалярного поля – это множества решений уравнения  при заданных значениях C.

Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналог поверхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте. Аналогичные примеры – изотермы, изобары и т.д.

Векторное поле на области  (или  ) – это вектор, координаты которого  являются функциями, определенными на  .

Примеры представляют собой силовое поле,поле скоростей и т.п.

Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля. Во 2-м семестре мы уже рассматривали производную плоского поля (т.е.  ) по направлению  ,  . Понятие величины отрезка определяется аналогично и для  . Напоминаем: величина отрезка  представляет собой его длину со знаком "+", если векторы  и  одинаково направлены и длину со знаком "-", если их направления противоположны. Тогда, по определению,  .

Если введена система прямоугольных декартовых координат и вектор  задан направляющими косинусами  , то при условии дифференцируемости  в т.  легко вывести формулу:  , где  - градиент скалярного поля  в точке  .

Разумеется, понятие градиента можно ввести и без использования системы координат:  , т.к.  - единичный вектор.