- •5. Векторы, основные определения, понятия, действия над ними
- •9. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; через две точки; в отрезках, общее уравнение
- •15. Предел числовой последовательности.
- •16. Предел функции, его геометрическая интерпретация, действия над пределами.
- •17. Первый и второй замечательный предел
- •18. Бесконечно малые величины, их свойства, эквивалентность.
- •19. Раскрытие неопределённостей
- •20. Непрерывность функции.Основные определения, теоремы
- •21. Точки разрыва
- •22. Свойство непрерывных функций на сегменте
- •23. Определение производной
- •24. Правила дифференцирования
- •25. Дифференциал функции
- •26. Производные высших порядков
- •27. Правило Лопиталя.
- •28. Применение производных к исследованию
- •30. Теорема Лагранжа, коши
- •31, Экстремум функции
- •32. Первообразная функции, интеграл и его свойства
- •33.Таблица интегралов
- •34. Методы вычисления неопределенного интеграла (непосредственное интегрирование, подстановкой, по частям).
- •35. . Интегрирование рациональных дробей.
- •36.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
- •37. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •38. Интегрирование иррациональностей.
- •39. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
- •40. Формула Ньютона- Лейбница. Свойства определенного интеграла.
- •41. Методы вычислений определенного интеграла( непосредственное, подстановкой, по частям).
- •42. Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой).
- •57. Дифференциальные уравнения 1 порядка, задача Коши.
- •58 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •59 Однородные ду первого порядка
- •60 Ду, допускающие понижение порядка.
- •2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
- •3. Уравнения, однородные относительно .
- •4. Обобщенно - однородные уравнения.
- •5. Уравнение в точных производных.
- •62 Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
- •63. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.
- •71. Классификация событий. Сумма, произведение событий, их свойства, графическое представление.
- •72. Различные определения вероятности.
- •73. Теорема умножения вероятностей.
- •74. Схема Бернулли повторных испытаний. Формула Бернулли.
- •75. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •77. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Числовые характеристики.
- •78.Законы распределения: биномиальный, Пуассона, равномерный, показательный, нормальный.
- •79. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.
- •80. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
36.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
В случае, когда подынтегральная функция представляет собой целую степень тригонометрической функции или произведение целых степеней применяют приемы, основанные на использовании формул тригонометрии и на применении общих методов интегрирования.
1) Интеграл от нечетной положительной степени синуса и косинуса.
,
..
2) Интеграл от четной положительной степени синуса и косинуса.
получим конечное число интегралов от четных и от нечетных степеней cos2x. В случае четной степени, снова воспользуемся формулой тригонометрии а в случае нечетной степени применим прием 1). Через конечное число шагов придем к сумме табличных интегралов.
3) Интеграл от произведения целых положительных степеней синуса я косинуса.
Приемы интегрирования целой положительной степени синуса и косинуса, изложенные в пунктах 1) и 2), достаточны для интегрирования произведений таких степеней, как это следует из приводимых ниже примеров.
4) Интеграл от нечетной положительной степени секанса и косеканса.
Значит
Получена рекуррентная формула. Последовательно применяя эту формулу, получим выражение через , — через и т. д.;
наконец, — через . Используя теперь полученные нами выражения в обратном порядке, найдем .
5) Интеграл от четной положительной степени секанса и косеканса.
..
Развернув (k— 1)-ю степень двучлена l + tg2x, придем к сумме табличных интегралов.
6) Интеграл от целой положительной степени тангенса и котангенса.
Получена рекуррентная формула .
37. Универсальная тригонометрическая подстановка.
Функция с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются рациональные действия( сложение, вычитание, сложение, деление) принято обозначать R( sin x; cos x),где R- знак рациональной функции.
Вычисление неопределенных интегралов типа ∫R( sin x; cos x) dx сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой tg = t,которая называется универсальной.
Правила подстановки:
Если функция R( sin x; cos x) нечетна относительно sin x, т.е. R( -sin x; cos x) = -R( sin x; cos x), то подстановка cos x= t рационализирует интеграл;
Если функция R( sin x; cos x)нечетна относительно cos x, т.е. R(sin x; -cos x) = -R( sin x; cos x), то делается подстановка sin x= t;
Если функция R( sin x; cos x) четна относительно sin x и cos x R( -sin x; -cos x) = R( sin x; cos x), тоинтеграл рационализируется подстановкой tg x = t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид ∫R( tg x ) dx.
38. Интегрирование иррациональностей.
1. Вычисление интегралов вида: ,
где R —символ рациональной зависимости. Подинтетральная функция -рациональная функция от аргумента х и нескольких дробных степеней одной и той же дробно-линейной функции этого аргумента х. Применяется подстановка:
где В — общее наименьшее кратное чисел .
Эта подстановка приводит все подинтегральное выражение к рациональному виду.
Из равенства , х выражается рационально через t; обозначается он так: . Тогда , где r'(t) есть рациональная функция t, как производная от рациональной функции r(t).
,
где — целое число, т.к. В делится без остатка на каждое из чисел Имеем:
,где есть рациональная функция аргумента t.
2. Вычисление интегралов от рациональной функции аргумента х и квадратного радикала из квадратного двучлена: .
Вычисление таких интегралов производится с помощью соответствующей тригонометрических подстановок:
1) , в случае интеграла ;
2) , в случае интеграла
3) , в случае интеграла ..
Во всех трех случаях подрадикальное выражение превращается в точный квадрат, радикал исчезает, а интеграл получает вид