3. Метод Гаусса:

А) Прямой ход. Это приведение матрицы системы к треугольному виду.

Б) Обратный ход. Нахождение неизвестных.

Алгоритм метода Гаусса

n-количество уравнений.

Массивы: a(n,n)-коэффициенты системы; b(n)-свободные члены (правая часть уравнений); x(n)-решение системы.

Ввод n, a, b

FOR k=1 TO n-1

В ыбор главного элемента и перестановка уравнений

F OR i=k+1 TO n

m =aik/akk

F OR j=k+1 TO n

aij=aij-m*akj

bi=bi-m*bk

x n=bn/ann

F OR i=n-1 TO 1 шаг - 1

F OR j=i+1 TO n

S=∑aij*xi

xi=(bi-s)/aii

Печать xi

Прямой ход

Обратный ход

Выбор главного элемента и перестановка уравнений

g=k

F OR i=k+1 TO n

Если |aik|>|agk|, то g=i

F OR j=k TO n

z=agj; agj=akj; akj=z

z=bg; bg=bk;bk=z

Итерационные методы

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных элементов были > или = суммы модулей не диагональных элементов:

3,7	-2,5	3,2		6,5
0,5	1,7	0,3		-0,24
1,6	1,5	-2,3		4,3

1. Метод простых итераций:

А) Выразим х₁, х₂, х₃ из уравнений главного определителя, тогда получим:

x₁=(b₁-a₁₂x₂-a₁₃x₃)/a₁₁

x₂=(b₂-a₂₁x₁-a₂₃x₃)/a₂₂

x₃=(b₃-a₃₁x₁-a₃₂x₂)/a₃₃

Б) Зададим начальное (нулевое) приближение x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, x₃⁽⁰⁾ . Подставляя их, получаем новое приближение.

В) Обозначим k-номер итерации, тогда для n уравнений итерационные формулы можно записать так:

x_i^(k)= ^(k-1))

Итерации проводятся до тех пор, пока не будет выполнено условие

|x_i^(k)-x_i^(k-1)|<e, i=1,2,… n.

Если условие не выполняется, итерации повторяются, приняв x_i^(k-1)= x_i^(k)

2. Метод Гаусса-Зейделя:

Этот метод представляет собой модификацию метода простых итераций, когда на k-той итерации при j<i x_i уже вычислено на этой итерации, а расчетную формулу можно записать так:

x_i^(k)= ^(k)- ^(k-1))

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие

|x_i^(k)-x_i^(k-1)|<e, i=1,2,… n.

Если условие не выполняется, итерации повторяются, приняв x_i^(k-1)= x_i^(k)

Алгоритм метода Гаусса-Зейделя

Ввод n, e, a, b, x

Начало цикла

FOR i=1 TO n

FOR j=1 TO n

S=

Xk=(bi-s)/aii

S1=

Xi=xk

Конец цикла, по условию s1<e

Печать xi

n-количество уравнений; e-точность; a(n,n)-массив коэффициентов; b(n)-массив свободных членов; x(n)-массив решения. Вводится начальное приближение x(n).

Далее переходим в редактор Visual Basic (Сервис – Макрос – Редактор Visual Basic, Вставка – Модуль) и набираем программы по приведенным в лекциях алгоритмам [1].