Глава II. Методика проведения личностно-ориентированного курса для учащихся старших классов (на примере темы «Правильные многогранники»)

§1. Из истории вопроса о правильных многогранниках

Теория многогранников - один из древнейших разделов математики. Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне приблизительно 3000 лет до н. э.

В Древней Греции геометрия, как теоретическая наука, стала складываться приблизительно с VII века до н. э. Большое значение для развития геометрии имели так называемые философские школы, в которых и берет свое начало теория многогранников.

Одной из самых известных школ была Пифагорейская (VI -V века до н. э.), основателем которой был знаменитый Пифагор. Пифагорейцы занимались изучением свойств правильных многоугольников и многогранников. Правильные многогранники использовались ими для философских космологических теорий, согласно которым элементы первоосновы бытия - огонь, земля, воздух, вода имели форму правильных многогранников, соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра. Форму додекаэдра имела вся Вселенная.

Другой знаменитой философской школой была школа Платона (V -VI века до н. э.). Ее основатель, Платон, не был математиком и не получил никаких результатов в этой науке, но он любил в своих многочисленных произведениях говорить о математике, в частности, в своем произведении «Тимеи» он изложил учение пифагорейцев о правильных многогранниках, которые поэтому стали называться космическими фигурами или Платоновыми телами [45].

Более поздняя школа - Александрийская, интересна для истории развития многогранников тем, что дала миру трех знаменитых ученых: Евклида, Архимеда, Аполлония.

Евклид (жил около 300 г. до н. э.) - автор известной работы «Начала», состоящей из 13 книг. Книги 11-13 посвящены стереометрии. Книга 11 начинается с 28 определений, среди которых и описательные определения правильных многогранников, например, определение куба: «Куб есть телесная фигура, заключающаяся между шестью равными квадратами» [145]. Последняя 13-я книга, которую историки математики называют «венцом» «Начал», посвящена теории правильных многогранников. Здесь установлено существование пяти видов правильных многогранников путем их построения. Доказывается, что других правильных многогранников не существует. Доказательство опирается на следующее положение: «Всякий телесный угол заключается между плоскими углами, меньшими, чем четыре прямых угла» [145].

Вслед за Евклидом изучением пяти правильных многогранников занимался Архимед (287-212 гг. до н. э.). Убедившись в том, что нельзя построить шестой правильный многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники, и в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и то же число ребер. Так он получил 13 полуправильных многогранников. До нас дошла работа самого ученого «О многогранниках» [17], в которой подробно описаны и даны рисунки 13 таких многогранников, которые, в честь ученого, названы телами Архимеда.

Еще одним крупным ученым этой эпохи, который занимался изучением многогранников, был Аполлоний (около 260-170 гг. до н. э.). Ему принадлежит теорема о том, что отношение объемов октаэдра и икосаэдра равно отношению их поверхностей («Задача Аполлония»).

Итак, к началу нашей эры древние ученые накопили достаточно сведений по теории многогранников, в частности, описали комбинаторные свойства правильных и полуправильных многогранников, знали способы их построения, доказали, что существует не более пяти типов правильных многогранников, знали метрические свойства этих многогранников, использовали многогранники в строительстве и архитектуре.

В средние века (XV-XVI) возрождается интерес к геометрии пространства, в частности, к теории многогранников в кругах скульпторов, архитекторов, художников. Великие А. Дюрер и JL да Винчи занимались изучением многогранников, изображали их на своих полотнах. Так, например, в 1525 году А.

Дюрер написал трактат «Руководство к измерению при помощи циркуля и линейки в линиях, плоскостях и целых телах», в котором рассмотрел пять платоновых тел, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы. Далее автор рассмотрел и архимедовы тела и предложил ранее неизвестный способ построения моделей многогранников из разверток, в том числе, сложных многогранников, например, развертку ромбоусеченного кубооктаэдра 166], имеющего шесть восьмиугольных, восемь шестиугольных и двенадцать квадратных граней.

JI. да Винчи - одна из загадок истории. Математика занимала видное место в творчестве ученого и художника. Он изучал симметрию правильных многоугольников и многогранников, изображал многогранники на своих картинах, например, в книге Я. Пачоли «О божественной пропорции», причем сначала изготовил каркасные деревянные модели правильных и полуправильных многогранников. В книге были помещены изображения еще не известных многогранников, в частности, «продолженный октаэдр», который спустя почти сто лет был переоткрыт И. Кеплером и назван им «Stella octangula» (звезда восьмиугольная). Этот многогранник состоит из тетраэдров, вершины которых образуют куб.

Знаменитый И. Кеплер (1571-1630)в начале своего научного пути тоже увлекался правильными многогранниками. Эту тему он развил в пятитомном труде «Гармония мира», в котором изложил свое учение о строении солнечной системы. Модель гелиоцентрической системы мира принесла ученому большой успех. Она получила название «космического кубка», так как состояла из сфер, на которых были расположены орбиты планет, и в которые последовательно вписывались и описывались правильные многогранники [212]. В книге «Тайна Вселенной» есть чертеж, из которого видно, каким он представлял себе механизм, ведающий размещением планет. Вокруг Солнца описана самая большая сфера, по ней движется Сатурн. Теперь в нее надо вписать куб, а в этот куб - снова сферу, которая определит собой орбиту Юпитера. Если в эту меньшую сферу вписать тетраэдр, а в него опять сферу, то получится орбита Марса. Так, следуя Кеплеру, и надо продолжать вписывать в сферы правильные многогранники, а в них - снова сферы. Между Марсом и Землей окажется додекаэдр, между Землей и Венерой - икосаэдр, а Венеру и Меркурий разделяет октаэдр. Точные значения орбит у Кеплера не получались, но он считал, что есть разница между «мыслимой идеей круга и действительным путем планеты», поскольку «небесные движения - произведения не разума, а природы». Поэтому ему пришлось подправлять свою модель - сферы на его чертеже имеют различную толщину. Но все это было бы ничего, если бы не открыли новые планеты, а запас Платоновых тел, разумеется, не пополнился: их, как было, так и осталось пять [45].

И. Кеплер вслед за JL да Винчи открыл многогранник «Stella octangula», который встречается в природе в виде двойного кристалла. Кроме этого Кеплер открыл два правильных звездчатых многогранника - малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр [90].

Современная теория многогранников берет свое начало с работ JI. Эйлера (1707-1783), которые оказали решающее влияние на многие разделы математики. В 1752 году им была доказана ставшая знаменитой теорема о числе граней, вершин и ребер (выпуклого) многогранника, которую историки называют первой теоремой топологии [84]. Последующие ее доказательства и обобщения сыграли существенную роль в развитии теории многогранников, топологии, теории графов.

Первая попытка обобщения теоремы Эйлера на многогранники более сложного вида была предпринята французским математиком и механиком, профессором Политехнической школы J1. Пуансо (1777-1859) в работе «О многоугольниках и многогранниках» [134], в которой заново открыты два правильных звездчатых многогранника Кеплера - малый и большой додекаэдры, а также два новых правильных звездчатых многогранника - большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр (отсюда и название звездчатых многогранников - тела Кеплера-Пуансо). В этой работе поставлен, но не решен вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20.

Ответ на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши (1789-1857) в работе «Исследование о многогранниках» [108]. В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из правильных многогранников путем продолжения их граней или ребер; исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники; Делается вывод о том, что тетраэдр, куб или октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр - одну звездчатую форму.

Среди последних достижений в области теории многогранников можно назвать работу академика А.Д. Александрова «Выпуклые многогранники» [4], в которой дано стройное, систематическое изложение всей теории выпуклых многогранников, основные ее результаты к середине прошлого столетия, показано богатство содержания и связей теории многогранников, ее геометрических методов. В книге содержится целый ряд результатов, опубликованных впервые. Каждая глава содержит параграф, называемый «Обобщения», в котором формулируются нерешенные перспективные проблемы.

Теория многогранников нашла отражение в школьном преподавании геометрии, начиная с первых учебников по геометрии в России конца XVIII - начала XIX века, на которые большое влияние оказали «Начала» Евклида. В них был заключен значительный материал по теории многогранников, особенно правильных. Тема «Многогранники» прочно заняла место во всех учебниках геометрии. Начал складываться определенный круг вопросов по ней: определение многогранника, простейшие виды выпуклых многогранников - призмы, пирамиды, правильные многогранники, измерения площадей их поверхностей и объемов.

В современных учебниках геометрии тема «Многогранники» является одной из центральных тем курса стереометрии, однако, материал данной темы несколько сокращен по сравнению с учебниками прошлых периодов: не рассматриваются невыпуклые многогранники, полуправильные, правильные звездчатые многогранники, сокращен материал о правильных многогранниках, не нашли отражение многие интересные факты теории многогранников (за исключением учебников для математических классов А.Д. Александрова и др. и учебников В.А. и И.М. Смирновых). В учебниках геометрии для старшеклассников не представляется возможным в полной мере использовать богатые возможности содержания темы «Многогранники». Это может быть сделано в системе школьных факультативов и элективов (спецкурсов).