2.6. Проверка гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла

Существенно большое значение для задач срока службы и надежности изделий имеет как обобщение показательного распределения распределение Вейбулла. Оно хорошо описывает постепенные отказы изделий, вызываемые старением материала в целом. Так, например, выход из строя кузова легковых авто­мобилей вследствие коррозии описывается законом Вейбулла. При организации перевозочного процесса важное значение имеет время простоя автобусов на промежуточных остановках, которое также хорошо поддается описанию распределением Вейбулла.

Плотность распределения Вейбулла задается двумя пара­метрами μ и n и имеет вид:

(2.16)

где t - случайная величина, в качестве которой может быть время исправной работы изделия, длина пробега автомобиля и т.д.;

μ - параметр масштаба;

n - параметр формы.

При n = 1 распределение Вейбулла преобразуется в показа­тельный закон, при n = 2 - в закон Релея и при n > 3,25 - в нормальный закон. Закон Вейбулла является двухпараметрическим, это и обусловливает его применение при решении различных инженерных и экономических задач.

Для удобства вычислений плотностей вероятностей закона Вейбулла производят замену

Тогда плотность вероятности записывается так :

(2.17)

Графики плотности распределения Вейбулла при различных зна­чениях параметра формы n приведены на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Графики плотности распределения закона Вейбулла.

Параметр формы n является функцией только коэффициента вариации υ.

(2.18)

Поэтому на основе опытных данных находят математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, вычисляют коэф­фициент вариации и с помощью специальных таблиц (табл. VII при­ложения) по известному значению υ находят параметр, формы n. Параметр масштаба μ определяется зависимостью

(2.19)

где M(t) - математическое ожидание, определяемое на основе опытных данных;

- гамма-функция Эйлера.

Значения гамма-функции протабулированы и для значения аргу­мента представлены в табл. VII приложения. Покажем на примере порядок проверки гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла. Исследуется один из этапов транспортного процесса - время простоя автобусов на проме­жуточных остановках. Всего зафиксировано было 208 наблюдений. Максимальное зарегистрированное значение времени простоя автобусов равно 45 с, минимальное - 2 с.

1. Используя формулу Стерджеса [8], находим прибли­женную ширину интервала

За величину ширины интервала принимаем Δt = 5 с. Тогда гисто­грамма будет иметь 9 интервалов.

2. На основании методики, изложенной в 1.2, определяем статистические поинтервальные частоты и частости попаданий случайной величины в интервалы, на основании которых строим гистограмму или многоугольник распределения (рис. 2.7). Все результаты расчетов заносим в табл. 2.6.

3. Вычисляем статистическое математическое ожидание вре­мени простоя автобусов

Находим статистическую дисперсию

Определяем несмещенное среднее квадратическое отклонение

4. Находим коэффициент вариации

По таблице VII приложения для коэффициента вариации υ = 0,547 определяем параметр формы

5. Для вычисления второго параметра μ первоначально по табл. VII приложения находим значение гамма-функции

Таблица 2.6

Статистическая обработка экспериментальных данных о промежуточных остановках

Номер разряда	Границы интерва­лов времени простоя αi - βi, с	Середины интервалов tci, с	Опыт­­ные часто­ты	Опыт­ные часто­сти			Теорети­ческие вероятно­сти Pi	Теорети­чес­кие числа попадания в интер­валы	Слагаемые критерия Пирсона
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0,5-5,5	3	20	0,096	60	180	0,098	20,4	0,01
2	5,5-10,5	а	40	0,192	320	2560	0,200	41,6	0,06
3	10,5-15,5	13	50	0,240	650	8450	0,226	47,0	0,19
4	15,5-20,5	18	40	0,192	720	12960	0,193	40,1	0
5	20,5-25,5	23	31	0,149	713	16399	0,135	28,1	0,30
6	25,5-30,5	28	13	0,063	364	10192	0,081	16,9	0,90
7	30,5-35,5	33	7	0,034	231	7623	0,039	8,1	0,15
8	35,5-40,5	38	4	0,019	152	5776	0,014	3,6	0,04
9	40,5-45,5	43	3	0,015	129	5547	0,007	1,5	1,5
Итоговая строка			=208	==1,0	=3339	=69687			χ2 = 3,15

По формуле (2.19) определяем

при этом значении, обратное параметру масштаба

Согласно предложенной гипотезе распределение времени простоя автобусов описывается следующим законом Вейбулла:

Теоретические вероятности попадания случайной вели­чины в интервалы для закона Вейбулла определяются зависи­мостью

(2.20)

Методика расчетов вероятностей по формуле (2.20) основана на использовании микрокалькуляторов, имеющих в своем програм­мном обеспечении вычисление функций e^x и y^x.

Результаты расчетов удобно представлять в вспомогательной табл. 2.7.

Таблица 2.7

γi	0,5	5,5	10,5	15,5	20,5	25,5	30,5	35,5	40,5		55,5
	0,999	0,901	0,701	0,475	0,282	0,147	0,066	0,027	0,010		0,003
Pi	0,098	0,200	0,226	0,193	0,135	0,081	0,039	0,017	0,007

На основании выполненных расчетов наносим на гистограмму выравнивающую её теоретическую кривую закона Вейбулла.

Рис.2.7. Гистограмма распределения времени простоя автобусов на промежуточных остановках (1) и выравнивающая её теоретическая кривая закона Вейбулла (2)

6. Вычисляем теоретические числа попадания случайной величины в интервалы

m_i = P_i N.

Получаем m₁ = 0,098 ∙ 208 = 20,4; m₂ =0,200 ∙ 208 = 41,6. Аналогично для всех остальных разрядов (см. столбец 8 табл.2.5),

7. Определяем слагаемые критерия Пирсона (см. столбец 10 табл. 2.6). Суммируя эти значения, находим

χ² = 3,15.

8. Проверяем правдоподобность гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла с помощью критерия χ² - квад­рат Пирсона. Для рассматриваемого примера число степеней сво­боды К = n - S = 9 - 3 = 6 и заданный уровень значимости α = 0,05.

По табл. V приложения находим

Р(χ²; К) = P(3; 6) = 0,788 > 0,05.

Следовательно, по критерию Пирсона гипотеза о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла подтверждается.

9. Проверяем правдоподобность принятой гипотезы с помощью критерия Романовского

И по критерию Романовского гипотеза о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла не отвергается.

10. Найдем доверительный интервал разброса среднего ре­зультата с надежностью γ = 0,95.

Так как N = 208 > 25, то при γ = 0,95, t_γ = 1,96.

Определяем точность оценки

Находим доверительный интервал для математического ожидания

M*(t) - Δ < M(t) < M^*(t) + Δ, т.е.

16,05 - 1,20 < M(t) < 16,05 + 1,20, или

14,85 < M(t) < 17,25.

Следовательно, с надежностью γ = 0,95 можно утверждать, что среднее время простоя автобусов на промежуточных остановках находится в интервале (14,85; 17,25). Очевидно, что при организации транспортного процесса нужно учитывать верхнюю границу доверительного интервала.