- •Методические указания по выполнению контрольной работы
- •Тема 1. Введение в математический анализ
- •Тема 2. Производная и дифференциал функции
- •Методические указания
- •Основные формулы дифференцирования
- •Тема 3. Исследование функции с помощью производной
- •Методические указания
- •Тема 4. Функции нескольких переменных
- •Методические указания
- •Тема 5. Неопределенный интеграл
- •Методические указания
- •Свойства неопределенного интеграла:
- •Тема 6. Определенный интеграл и его приложения
- •Методические указания
- •Тема 7. Дифференциальные уравнения
- •Методические указания
- •5. Как решаются дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными?
- •6. Каким методом решаются линейные дифференциальные уравнения первого порядка?
- •Тема 8. Р я д ы
- •Методические указания
- •Задания для контрольной работы
Задания для контрольной работы
В заданиях 1-10 найти указанные пределы:
1. а) ; б) .
2. а) ; б) .
3. а) ; б) .
4. а) ; б) .
5. а) ; б) .
6. а) ; б) .
7. а) ; б) .
8. а) ; б) .
9. а) ; б) .
10. а) ; б) .
В заданиях 11-20 требуется исследовать данные функции и построить их графики. Исследование функции предусматривает нахождение области определения, точек экстремума, интервалов возрастания и убывания, а также точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости графиков функции.
11. у = х3 – 9х2 + 15х - 3. 12. у =(х2 + 1 )( х + 2).
13. у = 1 + 3х2 – х3. 14. у = х3 + 6х2 + 9х.
15. у = х3 – 12х + 1. 16. у = 8х2 – 5х – х3 .
17. у = х2 (х – 1) 18. у = х2 (4 – х).
19. у = х3 + 3х2 - 3. 20. у = –х (х – 1)2.
В задачах 21-30 найти частные производные функции двух независимых переменных х и у:
21. а) z = x2 – 3x y + 5y2 – 7x2y2 + 13; б) .
22. а) z = x5 – 5x4 y3 + 2y5 – x2y2 + 3; б) .
23. а) z = x4 –3x y3 - 2x2y2+ 5y4 –23; б) .
24. а) z = x3 – 2x y2 +x3 y2+ 7y3 – 0,4; б) .
25. а) z = x2 – 4x2 y2 +8x3 y+ 11y4 – 0,14; б) .
26. а) z = x3 – 9x y2 +3x4 y2+ y3 – 0,64; б) .
27. а) z = x4 –3x3 y3 - 2x y2+ y4 –2,5; б) .
28. а) z = x4 –5x3 y + 4x y3+ y5 –32,1; б) .
29. а) z = x3 – 9x y2 +3x4 y+ 0,2y10 – 0,21; б) .
30. а) z = x2 – 3x3 y +x4 y3+ 12y2 – 1,13 б) .
В заданиях 31-40 вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
31. у = 6х – х2, у = 0. 32. у = х3, у = 8, х = 0.
33. у = 4 – х2, у = 0. 34. у = х2, у = 2 – х2.
35. у = х2, . 36. ху = 4, х = 4, у = 4, х = 0, у = 0.
37. у = х2, у = 1. 38. у = х3, у = 2 – х, у = 0.
39. у = х2 – 4х, у = 0. 40. , у = х.
В заданиях 41-50 найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
41. а) ху' + у = 0, у(–2) = 4; б) ху' – у = х2, у(1) = 0.
42. а) х3 у' – 2у2 = 0, у(1) = 1; б) ху' – у = х , у(4) = 8.
43. а) 2у' = у, у(4) = 1; б) ху' + 2у = , у(1) = –1.
44. а) х2 у' = –у2, у(–1) = 1; б) ху' – у = х3, у(2) = 4.
45. а) х3 у' + х = 0, у(1) = 3; б) ху' + у = х + 2, у(1) = 0.
46. а) ху' + у2 = 0, у(1) = -1; б) ху' – 2у = х2, у(2) = 8.
47. а) х2 у' – у = 0, у(1) = 1; б) ху' – у = х4, у(1) = 2.
48. а) у у' – = 0, у(1) = 2; б) ху' = у - х, у(1) = 0.
49. а) у у' + х = 0, у(2) = 4; б) ху' – = 2у, у(1) = 4.
50. а) ху' – у = 0, у(–2) = 4; б) ху' + = у, у(1) = 1.
В заданиях 51-60 дан степенной ряд вида . При заданных значениях a и b написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости и исследовать его сходимость на концах интервала:
51. а = 2, b = 3. 52. а = 3, b = 5.
53. а = 2, b = 5. 54. а = 4, b = 3.
55. а = 3, b = 2. 56. а = 3, b = 5.
57. а = 3, b = 4. 58. а = 5, b = 2.
59. а = 2, b = 4. 60. а = 2, b = 6.