20. Условный экстремум.
Задачи об отыскании экстремумов ф-ции, аргументы которой удовлетворяют дополнительным условиям связи-экстремумы такого рода будем наз-ть условными.
Пусть тр-ся
найти экс-мум ф-ции u=
при
условии, что аргументы этой ф-ции
уовлетворяют условию связи х+у-1=0. Таким
образом, экстремумы ф-ции u=
ищутся не на всей плоскости Оху, а лишь
на прямой х+у-1=0. Для решения подставим
в ур-ие ф-ции
u=
зн-ие у, определяемое из условия связи
х+у-1=0. Таким путём мы сведём поставленную
задачу к задаче об отыскании безусловного
экстремума ф-ции u=2
Последний экстремум
нах-ся без труда : так как
то
ф-ия u=2
с условием связи х+у-1=0 имеет условный
минимум u=1/2
в точке (1/2,1/2). Отметим, что безусловный
минимум ф-ции u=
достигается в точке (0;0) и равен u=0.
(графиком явл парабалоид вращения) на
всей плоскости с ее минимумом на прямой
х+у-1=0.
Прейдем к общей постановке задачи об отыскании условного экстремума. Пусть треб-ся найти экстремум ф-ции m+n переменных
U=f(
(40)
При наличии m условий связи
(41)
Функция при наличии
связей (41) имеет условный максимум
(минимум ) в точке
),
координаты которой удовлетворяют
условиям связи (41), если найдётся такая
окр-ть точки
,
в пределах которой зн-ие ф-ции (40) в точке
явл. наибольшим (наименьшим ) среди ее
зн-ий во всех точках, координаты которых
удовлетворяю условиям связи (41).
22. Неявные функции, теорема о неявной функции. Производная неявной функции.
Часто переменная u, явл. по смыслу задачи функцией аргументов x,y,…,задается посредством функционального ур-я F(u,x,y,…)=0 (15.1)
В этом сл. гов., что
u
как функция аргументов x,y,..
задана неявна
. Например,
функ. U=-
,рассматривая
в круге
,
м/б неявно задана с пом. функцион-го Ур-я
F(u,x,y,…)=
(15.2)
Возникает вопрос:
при каких усл. Ур-е (15.1) однозначно
разрешимо отн-но u,
т.е однозначно
определяет явную функцию u=
и при каких усл. Эта функция явл.
Непрерывной
и дифференцируемой.
(Обозначения: через R б/т пространство переменных (u,x,y,…), а пр-во переменных (x,y,…) символом R’)
Теорема о существовании и диф-ти неявной функции.
Пусть функция
F(u,x,y)
диф-ма в некоторой окрестности точки
пр-ва R,
причём частная производная dF/du
непрерывна в точке
. Тогда если в точке
функция
Fобращается
в нуль, а частная производная dF/du
не обращается в нуль, то для любого
достаточно малого положительного числа
найдется такая окр-ть точки
пр-ва R’
, что в пределах этой окр-ти сущ-ет
единственная ф-ия
которая
удовл-ет усл.
и явл. решением ур-я
F(u,x,y,…)=0 (15.3)
Причём эта функция
непрерывна и диф-ма в указанной окр-ти
точки
.
Замечание.В усл. Теоремы можно опустить требование непрерывности частной производной dF/du в точке , но тогда придётся потребовать, чтобы эта производная не обращалась к нулю не только в самой точке , но и в некоторой окр-ти этой самой точки и сохраняла определенный знак в этой окр-ти.
Вычисление частных производных неявно заданной ф-ции.
F(u,x,y,…)=0, пусть выполнены все усл. Теоремы , частные производные ф-ции определяются ф-ми
Du/dx=-(dF/dx)/(dF/du), du/dy=-(dF/dy)/(dF/du). (15.11)
(а если не от 2, а
от более аргументов, то du/d
=
)
(k=1,2,…….м)
Если нужно найти частне произв. 2-го порядка, то нужно добавить усл. дифференц-ти дважды.
Пример. Вфчислить
частную произв.
ф-ции
,
заданной
использую ф-лу (15.11), получим
du/dx=-(x/u),
du/dy=-(y/u).
=D(du/dx)|Dy=D(-(x/u))/Dy=x
* du/dy|
=-(xy)/
Условия, обеспечивающие сущ-ие для ф-ции y=f(x) обратной ф-ции.
Применим теорему
для выяснения условий, при выполнении
которых y=f(x)
имеет в некоторой окр-ти точки x0
обратную ф-ю x=
(y),
определенную в некоторойокр-ти точки
y0,
где y0=f(x0).
Будем рассматривать y=f(x)
как ф-ю, определяемую уравнением вида
F(x,y)=f(x)-y=0.
То вопрос о сущ-ии обр. ф-ии совпадает с
вопросом о разрешимости относительно
х указанного функционального уравнения.
Если ф-ция
y=f(x)
имеет отличную от нуля производную в
некоторой окр-ти точки х0, то для этой
ф-ции в окр-ти х0 существует обратная
ф-я x=
(y),
определенная и дифференцируемая в
некоторой окр-ти точки у0, где у0=f(x0).
Производная указанной обр. ф-ции в точке
у0 в силу второй из формул (15.11) равна
1/f’(x0).
Неявные ф-ции, определяемые системой функциональных Ур-ий.
Предположим, что m-функций
(13)
ищутся как решение системы m функциональных Ур-ий
(14)
Это решение будем
наз-ть непрерывным и дифференцируемым
в некоторой области D
изменения переменных
,
если каждая из ф-ций (13) непрерывна и
диф-ма в области D.
(символом R
будет пространство (m+n)
переменных
,
а сисмволом R’
пространство n
переменных
)
Рассмотрим
m
функций
стоящих в левых частях системы (14), и
составим из частных производных этих
ф-ий следующий определитель:
(15)(15)-
определитель Якоби. (или якобианом )
ф-ции
по переменным
и кратко обозначать символом
.
Теорема Пусть
m
функций
дифференцируемы в некоторой окр-ти
точки
)
пространства R,
причем частные производные этих ф-ий
по перевменным
непрерывны в точке
.
Тогда, если в точке
все ф-ции (16) обращаются в нуль, а якобиан
отличен от нуля, то для достаточно малых
положительных чисел
найдется такая окр-ть точки
пространства R’,
что в пределах этой окр-ти сущ-ют
единственные m
функций (13), которые удовлетворяют
условиям
и явл-ся решением системы Ур-ий (14), причём
это решение непрерывно и дифференцируемо
в указанной окр-ти точки
’.
Зависимость ф-ий. Пусть m функций от одних и тех же n переменных
(28) Определены и диф-мы в некоторой открытой n-мерной области D.
Одна из этих ф-ий,
например,
,
зависит в области D
от остальных ф-ций, если сразу для всех
точек
в области D
(29), где Ф-некоторая ф-ия, определенная
и диф-ая в соответствующей области
изменения своих аргументов. Ф-ции
будем наз-ть зависимыми в области D,
если одна из этих функций зависит в
области D
, еслиодна из этих ф-ций зависит в области
D
от остальных.
Пример
Зависимы в любой
области D
четырехмерного пр-ва, ибо для всех точек
(
)
этой области
Теорема
Пусть mфункций
от n
переменных
Определены и
дифференцируемы в окр-ти точки
).
Тогда если якобиан из этих ф-ций по
каим-ибо m
переменным отличен от нуля в точке
,
то эти ф-ции независимы в некоторой
окр-ти точки
.
Пример.Две ф-ции
независимы в окр-ти любой точки М(х,у)
так как якобиан
=-2не
равен нулю всюду.