- •Программа государственного экзамена для специальности 010101.65 «Математика»
- •Алгебра и геометрия
- •Математический анализ
- •Теория функций комплексной переменной
- •Топология и функциональный анализ
- •Дифференциальные уравнения
- •Теория вероятностей
- •Задания, включенные в программу государственного квалификационного экзамена Раздел «Функциональный анализ и топология»
- •Раздел “Математический анализ”
- •Раздел “Теория функций комплексного переменного”
- •I. Действия над комплексными числами
- •II. Функции комплексного переменного. Понятие голоморфности
- •III. Свойства голоморфных функций. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •IV. Особые точки. Теория вычетов
- •Раздел «Уравнения с частными производными»
- •Раздел «Теория групп»
- •Раздел «Дифференциальные уравнения»
- •Раздел «Методы оптимизации»
- •Литература
IV. Особые точки. Теория вычетов
15. Определить изолированные особые точки функции f(z), выяснить их характер, написать разложение в ряд Лорана в окрестности этих точек:
а) б) в)
г) .
16. Используя теорию вычетов, найдите интеграл:
а) б) в) .
Раздел «Уравнения с частными производными»
1. Решить задачу
2. Решить задачу
3. Решить задачу
4. Решить задачу
5. Решить задачу
Раздел «Аналитическая геометрия»
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно плоскости и образующей угол с прямой .
(Ответ )
Определить тип кривой и построить эту кривую в системе координат :
(Ответ эллипс)
(Ответ парабола)
(Ответ гипербола)
Вычислите расстояние между параллельными сторонами параллелограмма, построенного на векторах . Ответ ( )
Найдите высоту тетраэдра ABCD, опущенного из вершины B, зная, что Ответ ( )
Даны два вектора . Найдите единичный вектор , ортогональный векторам и и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов , , была правой. (Ответ .
Раздел «Алгебра и геометрия»
Разложите многочлены на неприводимые над R и C:
.
.Найдите размерность линейной оболочки векторов : При каких указанные векторы образуют базис в R4 ?
Найдите матрицу оператора дифференцирования в пространстве полиномов степени не выше n в базисе .
Найдите ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей .
Раздел «Теория групп»
Пусть - группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения. Доказать, что множество корней степени 6 из единицы является циклической подгруппой группы и найти все образующие этой подгруппы.
Доказать, что множество является подгруппой группы всех вещественных квадратных матриц с операцией сложения. Пусть – отображение, заданное формулой . Являются ли отображения и , где , и – ограничение отображения ?
Раздел «Топология»
1. Докажите, что связное компактное множество на прямой является отрезком.
Раздел «Теория вероятностей»
В каждой из трех урн находится по 6 белых и 4 черных шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым
Равнобедренный треугольник образован единичным вектором в направлении оси абсцисс и единичным вектором в случайном направлении в пространстве . Найдите функцию распределения третьей стороны.
Пусть и – случайные величины, . Доказать, что и – зависимые случайные величины
Написаны n писем, предназначенных разным адресатам. Имеется n конвертов с соответствующими адресами. Письма в случайном порядке вкладываются в конверты. Пусть – число писем, посланных тем адресатам, которым они предназначены. Найти математическое ожидание .
Две точки выбираются наудачу из отрезка [0, 1]. Пусть p и q – координаты этих точек. Найдите вероятность того, что квадратное уравнение будет иметь вещественные корни.
Стержень ломается случайным образом на две части. Каково среднее отношение длины короткого куска к длине длинного куска?