1.Геометрична ймовірність (Також Варіант 21,№ 1)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

Геометрична ймовірність – це поняття ймовірності,що запроваджується так: Нехай - деяка підмножина прямої, площини чи простору. Випадкова подія - підмножина . Тоді ймовірність випадкової події визначається формулою: де - довжина, площа чи об’єм множин та .

Це пов'язане з інтерпретацією ймовірності як міри на обраному просторі елементарних подій. В даному випадку він збігається з eвклідовим простором.

[Ред.] Використання геометричної ймовірності

• Голка Бюффона: Яка ймовірність того, що голка кинута на поверхню розграфлену паралельними прямими розташованими через однакові проміжки перетне одну з цих прямих?

• Парадокс Бертрана: Яке матсподівання довжини випадково обраної хорди на одиничному колі?

• Яка ймовірність того, що три випадково обрані на площині точки формують гострокутній трикутник?

• Та подібні...

Варіант 23

1Інтегральна формула Пуассона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

Інтегра́льна формула Пуассо́на Нехай для гармонічної в кулі функції u(r, φ) поставлена ​​умова рівності на границі функції u₀: u(R, φ) = u₀(φ), при цьому функції належать наступним класам гладкості: , де ∂D — границя кулі D, а — його замикання. Тоді розв'язок такої задачі Діріхле можна представити через інтеграл Пуассона:

где ω_n — площа одиничної сфери, а n — размірність простору.

2. Метод найбільшої правдоподібності

Визначення. Нехай є деяка сукупність x º (x₁ ,…, x_n) спостережень. Розглянемо імовірність (чи щільність) p(x/a) одержати це x при різних               a º (a₁ ,…, a). У  якості оцінки візьмемо те значення а, для якого імовірність p(x/a) максимальна; такий спосіб оцінювання називається методом найбільшої (максимальної) правдоподібності.

Функція p(x/a), що розуміється як функція від а, називається функцією правдоподібності. Значення а*, при якій досягається максимум функції правдоподібності, називається оцінкою найбільшої (максимального) правдоподібності:

p(x/a*) = p (x/a). (4.2)

Помітимо, що а* є функція спостережень х: а* = а* (х). При звичайних умовах регулярності максимум знаходиться із системи рівнянь

i = 1, …, R. (4.3)

Приклад 4.1. Нехай х º (х₁, …, x_n) – незалежні спостереження над випадковою величиною, нормально розподіленої з параметрами b і s² (роль двовимірного параметра а у визначенні грає пари b і s² ). Щільність розподілу вибірки дорівнює

p(x/ b, s ²) º p(x₁, …, x_n /b, s ²) = .        (4.4)

Оскільки значення х₁ ,…, x_n відомі, величина p(x₁, …, x_n/b,s²⁾ є функцією від b і s². Розглянемо систему:

Розв’язок  цієї системи, тобто оцінки найбільшої правдоподібності:

Варіант 21

1.див(в25,№ 1)

2,Точкова оцінка

Точкова оцінка у математичній статистиці — це число, що обчислюється на основі вибірки, імовірно близьке оцінюваному параметру популяції.

[Ред.] Визначення

Нехай — випадкова вибірка з розподілу, що залежить від параметра . Тоді статистику , що набуває значення в , називають точковою оцінкою параметра .

[Ред.] Властивості точкових оцінок

• Оцінка називається незміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює параметру генеральної сукупності, що оцінюється:

,

де позначає математичне сподівання за припущення, що — істинне значення параметра (розподілу вибірки ).

• Оцінка називається ефективною, якщо вона має мінімальну дисперсію серед всіх можливих незміщених точкових оцінок.

• Оцінка називається конзистентною, якщо вона за ймовірністю зі збільшенням обсягу вибірки прямує до параметра генеральної сукупності: ,

за ймовірністю при .

• Оцінка називається строго конзистентною, якщо ,

майже напевне при .