Простая вставка

В этой сортировке массив делится на 2 части: отсортированную и неотсортированную. На каждом шаге берется очередной элемент из неотсортированной части и «включается» в отсортированную часть массива.

Пусть отсортировано начало массива A[1], A[2], ..., A[i-1], а остаток массива A[i], ...,A[n] содержит неотсортированную часть. На очередном шаге будем включать элемент A[i] в отсортированную часть, ставя его на соответствующее место. При этом придется сдвинуть часть элементов, больших A[i], (если таковые есть) на одну позицию правее, чтобы освободить место для элемента A[i]. Но при сдвиге будет потеряно само значение A[i], поскольку в эту позицию запишется первый (самый правый – с самым большим индексом) сдвигаемый элемент. Поэтому прежде чем производить сдвиг элементов необходимо сохранить значение A[i] в промежуточной переменной. Так как массив из одного элемента можно считать отсортированным, начнем с i=2.

Этот алгоритм также имеет максимальную и среднюю временную сложности, пропорциональные O(n²), но в случае исходно отсортированного массива внутренний цикл не будет выполняться ни разу, поэтому метод имеет временную сложность T_min(n), пропорциональную O(n). Алгоритм сохраняет порядок элементов с одинаковыми значениями.

Алгоритм Шелла

Подобен пузырьку, в котором сравнение и обмены происходят на некоторой дистанции в зависимости от значения переменной A, называемой шагом сортировки. Метод Шелла относится к классу вставок, в котором происходит обмен записи.

Устойчивой называется сортировка, в которой записи с одинаковым значением ключа сохраняют свою относительную исходную последовательность и после сортировки.

7 5 13 6 7 10 4 7 2 (R1;R6);(R2;R7);(R3;R8)…(Ri;Ri+L)

7 4 7 2 7 10 5 13 6 (R1;R4 ;R7);(R2;R5;R8);(R3;R6;R9)

2 4 6 5 7 7 7 13 10

послед. Шаг h=1

В алгоритме Шелла неявно образуются группы из элементов, которые отстоят друг от друга на h позиций, каждая такая группа сортируется простой вставкой, после чего значение шага надо изменить.

Теорема: K-упорядоченная последовательность после h сортировки будет одновременно kh упорядочена

Самая простая последовательность шагов образуется

h={ ½; N/2 * ½; N/8; N/16; ....; 1 }, где i номер итерации

hi=(H_i-1)/2

h={16,8,4,2,1}

Что приводит к тому, что элементы в четных и нечетных позициях не взаимодействуют друг с другом , вплоть до последней итерации на которую придется максимальное количество обменов – наихудший случай выбора шагов. А наилучший – когда происходит наибольшее перемешивание групп от раза к разу.

Это достигается, если шаги взаимно простые h={13,11,7,5,3,1}. Вообще, последовательность может быть любая, главное чтоб h=1.

Например у Кнута: h_i=3_h-1+1

При этом I максимально i – max : H_imax+2 > N

h>N

Трудоемкость Шелла О(N^1,667)

Причем это достигается всего лишь при двух шагах сортировки относительно простых вставок.