3.Расчет теплообмена излучением в замкнутой системе

1. Расчет угловых коэффициентов методом поточной алгебры

Для решения задачи теплообмена излучением в замкнутой системе трех тел (рис. 1.1, 1.2) необходимо применить метод поточной алгебры и метод результирующих потоков.

С помощью метода поточной алгебры определяются взаимные поверхности тел системы и угловые коэффициенты излучения. Далее значения угловых коэффициентов излучения используются в методе результирующих потоков (метод «Сальдо»).

Угловой коэффициент излучения _i,j представляет собой долю полусферического излучения поверхности F_i, на поверхность F_j и выражается через взаимную поверхность

,

где Н_i,j – взаимная поверхность с тела i на тело j, м²;

F_i - излучающая поверхность тела i, м².

Поскольку _i,j величина безразмерная, то взаимная поверхность имеет размерность м² и по смыслу записи

Рис. 3.1. К определению взаимных поверхностей

Взаимная поверхность Н_i,j является некоторой частью излучающей поверхности F_i. Угловые коэффициенты излучения необходимо определить для того, чтобы затем, используя их найти с помощью метода результирующих потоков лучистые составляющие, после чего можно определить полные тепловые потоки в замкнутой системе. Для определения взаимных поверхностей и угловых коэффициентов необходимо составить и решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), выражающую зависимость взаимных поверхностей от геометрических характеристик системы. СЛАУ составляется с учетом ряда свойств взаимных поверхностей:

1. Свойство взаимности – взаимная поверхность с поверхности F_i на поверхность F_j равна взаимной поверхности с F_j на F_i.. Например, H_1,2 = H_2,1, H_1,3 = H_3,1 и т.д.

2. Свойство замыкаемости – если любое излучающее тело, в замкнутой системе тел считать замыкающим систему, то все его излучение падает на все поверхности системы в том числе и «на себя», а в соответствии со свойством аддитивности сумма всех взаимных поверхностей с этого тела на все, облучаемые им, равна поверхности этого тела. Например, для рассматриваемой замкнутой системы 3-х тел свойство замыкаемости выражается следующей системой уравнений

H_1,1 + H_1,2 + H_1,3 = F₁;

H_2,1 + H_2,2 + H_2,3 = F₂;

H_3,1 + H_3,2 + H_3,3 = F₃.

3. Свойство затеняемости – если излучение с одной поверхности на другую непосредственно не попадает, то взаимная поверхность для них равна нулю. Например, для случая на рис. 3.2 затеняемые поверхности -

H_1,1 = H_2,1 = 0.

Рис. 3.2. Схема затеняемых тел

4. Свойство невогнутости – если тело невогнутое (плоское или выпуклое), то оно само на себя не излучает и взаимная поверхность «на себя» равна нулю. Например, для греющего спутника (тело 1) и технологического трубопровода (тело 2) в нашем случае H_1,1 = 0; H_2,2 = 0.

5. Свойство полного делителя. Полный делитель – воображаемая натянутая поверхность, разделяющая систему на две замкнутые системы, не нарушая ни одну из поверхностей системы. Например, в системе, состоящей из 2-х труб и 2-х касательных к ним плоскостей (рис. 3.3) два делителя: D₁, D₂.

Проверка на решаемость системы трех тел состоит в сопоставлении количества неизвестных (количество взаимных поверхностей) и количества возможных уравнений в системе составленных на основе свойств системы.

1. Число искомых взаимных поверхностей n² = 3² = 9, где n –количество тел в системе.

2. Число возможных алгебраических уравнений:

   1. Число уравнений по условию взаимности .

   2. Число уравнений по условию замыкаемости .

   3. Число уравнений по условию невогнутости .

   4. Число уравнений по условию затеняемости .

   5. Число уравнений по условию полного делителя .

При проверке на решаемость системы 3-х тел сопоставляется число уравнений в системе и количество неизвестных.

.

Количество неизвестных превышает число уравнений в системе, т.е. система трех тел не решаема. Так как непосредственно система из трех тел не решается, вводится вспомогательная геометрически подобная система состоящая из 4-х тел: две трубы и две касательные к ним плоскости (рис. 3.3). При решении этой системы определяется часть неизвестных входящих в систему 3-х тел, после чего она становится решаемой.

Проверка на решаемость системы четырех тел

.

Таким образом, система четырех тел решаема.

Составляется и решается СЛАУ для системы четырех тел.

1. Система уравнений по свойству замыкаемости (n = 4)

Н_1,1 + Н_1,2 + Н_1,3 + Н_1,4 = F₁;

Н_2,1 + Н_2,2 + Н_2,3 + Н_2,4 = F₂;

Н_3,1 + Н_3,2 + Н_3,3 + Н_3,4 = F₃;

Н_4,1 + Н_4,2 + Н_4,3 + Н_4,4 = F₄.

2. Система уравнений по свойству взаимности

Н_1,2 = Н_2,1; Н_1,3 = Н_3,1; Н_1,4 = Н_4,1;

Н_2,3 = Н_3,2; Н_2,4 = Н_4,2; Н_3,4 = Н_4,3

3. Система уравнений по свойству невогнутости (n_н = 4)

Н_1,1 = 0; Н_2,2 = 0; Н_3,3 = 0; Н_4,4 = 0

4. Система уравнений по свойству затеняемости (n_з = 0).

5. Система уравнений по свойству полного делителя (n_д = 2).

Используя свойства взаимности, невогнутости и затеняемости преобразуем и упростим систему уравнений (1-5). После преобразования и упрощения получаем исходную систему линейных алгебраических уравнений для решения методом Гаусса

Н_1,2+ Н_1,3+ Н_1,4 = F₁;

Н_1,2+ Н_2,3+ Н_2,4 = F₂;

Н_1,3+ Н_2,3+ Н_3,4 = F₃;

Н_1,4+ Н_2,4+ Н_3,4 = F₄;

Н_1,2+ Н_1,4+ Н_2,3+ Н_3,4 = F₅;

Н_1,2+ Н_1,3+ Н_2,4+ Н_3,4 = F₆.

Уравнения 1-4 в системе составлены на основании свойств замыкаемости с учетом свойств: взаимности, невогнутости и затеняемости. Уравнения системы 5- 6 составлены по свойству полного делителя.

Для решения системы необходимо определить геометрические характеристики вспомогательной системы (рис. 3.3).

2. Определение геометрических характеристик

вспомогательной системы

Поверхности тел 1 и 2 на 1 погонный метр труб

F₁ =  = 3,140,032 = 1,005 м²/п.м.

F₂ =  = 3,140,250 = 0,785 м²/п.м.

1. Из подобия фигур BKCO2 и bkco1

Так как равны три соответственных угла при вершинах треугольников O2BK и o1bk, можно записать равенство отношений собственных сторон этих треугольников и дуг bc и BC.

r1/r2 = bk/BK = o1k/O2K = bc/BC = E,

тогда bk = EBK; o1k = EO2K b и т.д.

где E = r1/r2 = 0,016/0,125 = 0,128.

Рис. 3.3. Расчетная схема вспомогательной системы

h = o1k +O2K = EO2K + O2K = (1 + E)  O2K = 0,165, м.

, м.

cos() = r₂/O2K = 0,856;

 = arccos(r₂/O2K) = arccos(0,125/0,146) = 0,806 = 31,73 .

Перевод угла из градусов в радианы

_ = /180 = 31,733,14/180 = 0,554;

ВС = _p = 0,2500,554 = 0,1385;

bc = _p = 0,0320,554 = 0,0177;

ВK = CК = r₂tg() = 0.125 tg(31.73) = 0.0770;

bk = ck = r₁tg() = 0.016 tg(31.73) = 0.0116.

2. Из подобия треугольников lDO2 и ldo1

r₁/r₂ = lo1/(h + lo1) = E;

lo1 = E  (h + lo1) = E  h + E  lo1 м

или

lo1 = (E /(1 - Е1))  h = (0,128/(1 – 0,128))  0,165 = 0,242 м;

cos() = r1/lo1 = 0,016/0,242 = 0,6606;

 = arccos(r₁/lo1) = arccos(0,016/0,0242) = 47,6 ;

_ =   /180 = 47,6  3,14/180 = 0.831;

abcd = (2    r1 – 2  r1  _) = 2  r1  (–_) = 2  0,016  (3,14 – 0,831) = 0,0739 м.

3. Из треугольника АО2L

cos() = r2/(h + lo1) = 0,125/(0,1656 + 0,0242) = 0,66061;

 = arccos(r2/(h + lo1) = arccos(0,66061) = 47,6 ;

_ =   /180 = 47,6  3,14/180 = 0,8309;

ABCD = 2  r2  _ = 2  0.125  0,8309 = 0,2077 м;

E2D = (F2 – ABCD)/2 = (0,785 – 0.2077)/2 = 0,289 м;

ae1 = (F1 – abcd)/2 = (0,1005 – 0.0739)/2 = 0,0133 м.

4. Площадь касательных поверхностей Аа и Dd из подобия треугольников (АО2L и ao1l)

Dl/O2l = dl/o1l;

(Dd + dl)/(h + o1l) = dl/o1l;

Dd = ((h + o1l)  dl/ o1l) – dl,

где dl определяется треугольника о1ld

dl = r1  tg() = 0,016  tg(47,6) = 0,0175 м;

Dd = ((0,165 + 0,0242)  0,0175/0,0242) – 0,0175 = 0,1194;

F[3] = F[4] = Dd + E2D + E1d = 0.1194 + 0,2989 + 0,0133 = 0,4215 м².

Таким образом, найдены четыре поверхности системы F[1]  F[4].

3. Два делителя системы

D₁ = D₂ = F[5] = F[6] = AE2 + AB + BC + Kc + cd + E1d,

где AB = (ABCD – BC)/2 = (0,2077 – 0,1385)/2 = 0,035 м;

cd = (abcd – bc)/2 = (0,0739 – 0,0177)/2 = 0,0281 м.

F[5] = F[6] = 0,289 + 0,035 + 0,077 + 0,0079 + 0,0281 + 0,0133 = 0,452 м².

Для решения системы линейных уравнений формируется матрица коэффициентов при неизвестных и вектор свободных членов (F₁  F₆). Коэффициенты при неизвестных Н_i,j представляются в виде 1 (неизвестное присутствует в уравнении) или 0 (отсутствует). Тогда исходная расчетная система записывается в виде

1 1 1 0 0 0 F₁

1 0 0 1 1 0 F₂

0 1 0 1 0 1 F₃

0 0 1 0 1 1 F₄

1 0 1 1 0 1 F₅

1 1 0 0 1 1 F₆

Система решается методом Гаусса. После решения системы определяются значения _i,j., значения которых используются далее в методе результирующих потоков.

3. Расчет лучистой составляющей теплового потока

методом результирующих потоков

Результирующее излучение данного тела соответствует остатку Х излучения в теле с обратным знаком, т.е. Q_рез = -X, Вт. Если найдены значения Сальдо для каждого из тел системы Х, то становится то становятся известными результирующие потоки излучения от тел Q_рез,i.

Метод результирующих потоков представляет совокупность следующих уравнений

1. Уравнение для эффективного излучения

Q_эф,i = X_i(1/A_i – 1) + Q_oi,

где - излучение абсолютно черного тела площадью F_i при температуре T_i данного тела, Вт;

= 5,668 10^-8 (Вт/м² К⁴) – постоянная Больцмана;

А_i – поглощательная способность i-го тела (отношение потока излучения, поглощенного телом к потоку излучения, падающему на тело).

2. Результирующий поток для i-го тела системы равен разности падающего на него излучения со всех тел системы (в том числе и с i-го тела) и эффективного излучения i-го тела

.

На основании этих двух уравнений составляется система уравнений, после решения, которой определяются лучистые составляющие тепловых потоков.

Излучение абсолютно черного тела

Поглощательные способности тел для стали окисленной А[1], А[2] и алюминия А[3

А[1] = А[2] = 0,80; А[3] = 0,09.

После упрощающих преобразований получаем расчетную систему уравнений

После подстановки в последнюю систему значений А_i, Q_oi и _i,j и упрощающих преобразований получаем матрицу коэффициентов при неизвестных и вектор свободных членов

1,250	-0,010	-0,683	-93,971
-0,076	1,250	-7,362	28,549
-0,174	-0,240	9,045	65,422

В результате решения данной системе определяется искомый вектор решения системы (х₁ х₃), который характеризует значения лучистых составляющих потоков

Х[1] = -70,654 Вт; Х[2] = 63,015 Вт; Х[3] = 7,549 Вт.

Проверка правильности решения системы. Для замкнутой системы, исходя из закона сохранения энергии

Х[i] = 0;

Х[i] = Х[1] + Х[2] + Х[3] = -70,654 + 63,015 + 7,549 = 0 Вт.

Теплота, отданная от тела 1 в систему обозначается со знаком (-). Тепло воспринимаемое телами системы обозначается со знаком (+).

Далее находятся составляющие тепловых потоков Q_i = Q_i(к) + Q_i(л).

3.4. Расчет теплообмена между телами системы

Конвективный поток теплоты от тела 1 во входном сечении

Конвективный поток теплоты к телу 2

Суммарный поток теплоты от тела 1

Суммарный поток теплоты к телу 2

Суммарный поток теплоты к телу 3 определяется по балансу

3.5.Проверка правильности расчета суммарных тепловых

потоков по температурам стенки

1. Проверка температуры наружной стенки спутника производится с учетом рассчитанных суммарных тепловых потоков