- •Реферат
- •1. Численные методы вычисления интегралов.
- •2. Формула Симпсона
- •3. Формулы Гаусса
- •Метод Гаусса
- •Прямой ход.
- •Регуляризация решения
- •Описание метода Гаусса для вырожденных систем.
- •Применения метода Гаусса.
- •Нахождение определителя матрицы.
- •Нахождение обратной матрицы
- •Нахождение ранга матрицы.
- •Определение совместности системы.
- •4. Оценка интегралов
- •Литература
Министерство сельского хозяйства
Иркутская Государственная Сельскохозяйственная Академия
Реферат
Численное интегрирование методами Симпсона и Гаусса
Выполнила:
Студентка очного отделения
Экономического факультета
Специальности 080109.65
Непомнящих Анастасия
Иркутск 2012
Содержание:
Численные методы вычисления интегралов…………………….3
Формула Симпсона……………………………………………….4
Формулы Гаусса………………………………………………….5
Оценка интегралов………………………………………………..7
Список литературы……………………………………………….9
1. Численные методы вычисления интегралов.
Решая физические задачи, часто приходится вычислять значения определённых интегралов от функций . Во многих случаях, в виду того, что подлежащий вычислению интеграл не выражается через элементарные функции, прибегают к приближённым численным методам.
Прежде всего, рассмотрим случай, когда - конечный интервал.
В таком случае, как известно, функция является ограниченной, т.е. . В этом случае наиболее часто применяемый численный метод интегрирования состоит в том, что интеграл от заменяется некоторой линейной комбинацией значений в точках :
(1)
Формула (1) называется квадратурной формулой, а коэффициенты - квадратурными коэффициентами или весами, абсциссы - узлами квадратурной формулы.
Методы численного интегрирования классифицируются в зависимости от того, заданы ли значения аргумента через равные промежутки или нет.
2. Формула Симпсона
Вывод формулы Симпсона будем производить аналитически. Как и в предыдущем случае применяем интерполяционный многочлен Лагранжа, для интерполирования функции , на отрезке , при чём считаем, что нам известны значения . Тогда, очевидно, что многочлен Лагранжа имеет вид квадратичной функции:
(15)
Интегрируя (15) на отрезке будем иметь формулу:
(16)
используя свойство аддитивности интеграла, получаем:
(17)
где является четным числом ( - число делений отрезка ,т.е. число равных отрезков разбиения).
Формула (17)-называется формулой Симпсона.
Приняв обозначения , получаем привычный вид квадратурных формул:
а) Формула трапеций:
(18)
б) Формула парабол (Симпсона) (при )
(19)
ПРИМЕР. Вычислим методом прямоугольников, трапеций и Симпсона при n=2 и сравним погрешности вычислений (точный ответ равен 6.4).
В методе ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ имеем: I»h(f(0+0.5h)+f(0+1.5h))=f(0.5)+f(1.5)=82/16.
При этом получаем погрешность 6.4 - 5.125 =1.275
В методе ТРАПЕЦИЙ имеем: I»h/2(f(0)+f(2))+h*f(0+h)=1/2*(0+16)+f(1)=8+1=9.
Погрешность получается равной 2.6.
В методе СИМПСОНА имеем: I»h/6(f(0)+f(2))+h/3*f(0+h)+2h/3*(f(0+0.5h)+f(0+1.5h)) =16/6+1/3+2/3(82/16)=3+41/12»6.417
Погрешность получается равной 6.417-6.4=0.017
На многих других примерах можно столь же наглядно убедиться, сколь велико преимущество метода Симпсона над методами прямоугольников и трапеций в смысле точности результата. В то же время организация вычислений весьма проста, что и обуславливает широкое применение на практике этого метода.
Теоретические оценки погрешности для представленных трех методов следующие:
для метода прямоугольников |r| £ M2*(b-a)*h2/24;
для метода трапеций |r| £ M2*(b-a)*h2/12;
для метода Симпсона |r| £ M4*(b-a)*h4/180.
,где М2 и М4 –соответственно максимумы модуля второй и четвертой производных интегрируемой функции на отрезке интегрирования. Однако в реальных задачах, как правило, бывает затруднительно или совсем невозможно пользоваться этими формулами, поскольку значение максимумов производных трудно, а порой и невозможно вычислить или даже оценить.
Формула Симпсона . Предположим, что Интеграл приближенного заменяем площадью заштрихованной криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, проходящей через точки де
Указанная парабола задается уравнением
в чем нетрудно убедиться, положив поочередно (ее можно также получить, построив интерполяционный многочлен второй степени и приводя подобные ) Отсюда находи ( проверить самостоятельно)
Таким образом , формула Симпсона , называемая также формулой парабол , имеет вид
(15)
Положим где -функция (4). Поскольку
то согласно формул Тейлора с остаточным членом в интегральной форме имеем
Отсюда получаем
(16)
т.к. остальные члены взаимно уничтожаются.
Поскольку то применяя к интегралу (16) теорему 1 , а затем к полученному результату лемму, находим
(17)
где нектрые точки.
Принимая во внимание, что из (16), (17) приходим к формуле
(18) т.е. к формуле Симпсона с остаточным членом.
Рассмотрим квадратурные формулы прямоугольников (3), трапеций (7) и Симпсона (15) называются каноничными.
(33)
Пример. Исследовать погрешность квадратурных формул для интеграла
при .
Имеем
о
на
Согласно (31)-(33) получаем
Формулы прямоугольников трапеций в отдельности уступают при интегрировании гладких функций формуле Симпсона. Однако в паре они обладают ценным качеством, а именно, если не изменяет знака на то формулы (29) дают двусторонние приближения для интеграла (1), так как согласно (22), (24) их остаточные члены имеют противоположные знаки.
В рассмотренном примере Поэтому
В данной ситуации естественно положить
Тогда т.е. погрешность оценивается через самые приближенные значения интеграла.
4