Лінійні рівняння першого порядку.

Означення. Лінійним рівнянням першого порядку називають рівняння вигляду

. (1.1.11)

Якщо , то рівняння називають лінійним однорідним

. (1.1.12)

Якщо ця умова не виконується, то рівняння називають лінійним неоднорідним.

Розглянемо однорідне рівняння (1.1.12). Це рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні

.

Після інтегрування одержуємо

(1.1.13)

Зробимо в неоднорідному рівнянні (1.1.11) заміну , де – нова невідома функція, а довільний частинний розв’язок рівняння (1.1.11). Одержимо

.

Оскільки – частинний розв’язок рівняння (1.1.11), то

,

Тому для знаходження функції одержуємо рівняння

.

Це є лінійне однорідне рівняння (1.1.12). Його загальний розв’язок нам вже відомий

.

Загальний розв’язок рівняння (1.1.11) має вигляд

(1.1.14)

Виходячи з формули (1.1.14), можемо сформулювати таке твердження:

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння складається з суми загального розв’язку лінійного однорідного рівняння і будь-якого частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

Постає питання: як знайти цей частинний розв’язок ?

Метод варіації сталих.

Ідея цього методу полягає в тому, що ми шукаємо загальний розв’язок неоднорідного рівняння в такому же вигляді, як розв’язок однорідного рівняння, тільки вважаємо сталу невідомою функцією , тобто

(1.1.15)

Підставляємо функцію (1.1.15) в рівняння (1.1.11), одержуємо

,

.

Звідки знаходимо похідну невідомої функції

.

Сама функція знаходиться інтегруванням

.

Підставляючи знайдену функцію у формулу (1.1.15), одержуємо загальний розв’язок рівняння (1.1.11)

. (1.1.16)

Якщо у формулі (1.1.16) прийняти , то одержимо частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

Метод Бернуллі.

Цей метод полягає в тому, що ми шукаємо розв’язок рівняння (1.1.11) у вигляді добутку двох невідомих функцій . Підставимо цей добуток у рівняння (1.1.11).

Виберемо функцію так, щоби вона була розв’язком рівняння

.

Це є лінійне однорідне рівняння, його загальний розв’язок

.

Оскільки нам потрібна лише одна функція, то ми можемо прийняти Отже,

.

Тоді

.

Звідки

.

Остаточно

.

Як бачимо, ця формула повністю співпадає з формулою (1.1.16).

Приклад 11.

Розв’яжемо це рівняння методом варіації сталої. Однорідне рівняння, яке відповідає цьому неоднорідному, має вигляд

Відокремлюємо змінні

.

Звідки

Шукаємо розв’язок вихідного рівняння у вигляді

.

Підставляємо цю функцію в рівняння

Одержуємо

.

Тоді

Остаточно

Приклад 12.

Розв’яжемо це рівняння методом Бернуллі. Зробимо заміну

Підставляємо в рівняння

Групуємо так:

Вираз в дужках прирівнюємо до нуля

.

Звідки

Для знаходження функції одержуємо рівняння

.

Тоді

Отже,

Рівняння Бернуллі.

Означення. Рівнянням Бернуллі називають рівняння вигляду

. (1.1.17)

Це рівняння зводиться до лінійного. Поділимо обидві частини рівняння на

.

Зробимо заміну

.

Тоді для знаходження функції одержуємо рівняння

.

Це є лінійне неоднорідне рівняння, як його розв’язувати ми вже знаємо.

Приклад 13.

.

Ділимо рівняння на .

.

Зробимо заміну

.

Одержуємо

.

Це – лінійне рівняння. Розв’яжемо його методом варіації сталої. Відповідне однорідне рівняння має вигляд

Відокремлюємо змінні

.

Звідки

.

Тоді

.

.

Оскільки , то

.

Рівняння Ріккаті.

Загальне рівняння Ріккаті має вигляд

(1.1.18)

Загалом рівняння Рік каті не інтегрується в квадратурах. Проте, якщо відомий один частковий розв’язок рівняння (1.1.18), то загальний розв’зок одержуємо двома квадратурами. Справді, нехай відомий частковий розв’язок , тобто виконується тотожня рівність

(1.1.19)

Зробимо заміну

Одержуємо

.

або, враховуючи (3.9),

.

Це є рівняння Бернуллі. Для зведення цього рівняння до лінійного, треба покласти . Для знаходження маємо рівняння

Загальний розв’язок цього лінійного рівняння має вигляд

Звідки одержуємо загальний розв’язок рівняння Ріккаті

.

Отож, загальний розв’язок рівняння Ріккаті є дробово-лінійною функцією стосовно довільної сталої.

Приклад 14.

Це рівняння має частковий розв’язок . Робимо заміну Одержуємо

.

Покладемо

Тоді

Застосуємо метод варіації сталої

Тоді

Остаточно