Podamy teraz klasyczną definicję prawdopodobieństwa, której autorem jest Laplace (1794-1827)

Z punktu widzenia współczesnej aksjomatyki definicja ta nie jest w pełni doskonała, jednakże dla nas ważna jest w tym przypadku jej przystępność oraz fakt, że w rachunku prawdopodobieństwa pojęcie "prawdopodobieństwa" stanowi w pełni obiektywną charakterystykę stopnia możliwości zajścia określonego zdarzenia.

Aspekt ilościowy tej charakterystyki uzależniony jest przy tym całkowicie od właściwości zjawiska, od jego podstawowych czynników, jakimi w przykładzie z urną jest stosunek liczby kul białych od liczby kul czarnych. Innymi słowy, prawdopodobieństwo matematyczne jest pojęciem przyczynowo uwarunko­wanym, poddającym się ilościowemu mierzeniu.

Stosunek liczby szans sprzyjających zajściu danego zdarzenia a do liczby wszystkich szans jednakowo możliwych I wyłączających się nazywa się prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia a.

Jeżeli liczbę szans sprzyjających danemu zdarzeniu A oznaczymy przez m, a liczbę wszystkich szans jednakowo możliwych i wyłączają­cych się przez n, wtedy prawdopodobień­stwo zajścia zdarzenia A, które oznaczymy przez P(A), możemy wyrazić przy pomocy następujące­go wzoru:

Liczba szans nie sprzyjających zdarzeniu A, które oznaczymy przez A', równa się n-m, a więc prawdopodobieństwo wyniku przeciwstawnego jest równe

skąd otrzymujemy P(A) + P(A') = 1.

Jeśli m = 0, to takie zdarzenie nazywamy niemożliwym, wtedy P(A') = 0, natomiast gdy m = n, to zdarzenie nazywamy pewnym, a P(A) = 1.

P(A) może przybierać jedynie wartości z przedziału 0 i 1, czyli 0 < P(A) < 1.

Warto tu jeszcze wspomnieć o tzw. statystycznej definicji prawdopo­dobieństwa, która została szeroko rozpowszechniona, szczególnie wśród przedstawicieli nauk eksperymentalnych. Można ją sformułować mniej więcej w następujący sposób:

Jeśli przy wielokrotnej realizacji doświadczeń, w których wyniku może wystąpić zdarzenie A, częstość tego zdarzenia przejawia wyraźną prawidłowość, oscylując wokół pewnej nieznanej liczby p, i jeśli wahania częstości przejawiają tendencję malejącą w miarę wzrostu liczby doświadczeń, to liczba p nazywa się

prawdopodobień­stwem zdarzenia A.

W statystycznej definicji prawdopodobieństwa mówi się że prawdopodobieństwo jest to pewna nie znana nam liczba p, wokół której waha się empirycznie zaobserwowana częstość. Liczba ta opisując oczywiście jakąś stronę realnej rzeczywistości wyraża obiektywną treść. Dowodzi to, że prawdopodobieństwo istnieje niezależnie od doświadczenia. Niemniej statystyczna definicja prawdopodobieństwa przeznacza eksperymentowi znaczną rolę, gdyż tylko za pośrednictwem eksperymentu możemy uzyskać ocenę prawdopo­dobieństwa.

Podana wyżej definicja prawdopodobieństwa posiada szereg wad i stała się przedmiotem ostrej krytyki pewnej grupy matematyków. Ze względu na przeznaczenie tego wykładu nie będziemy tych problemów dyskutować. Warto jednakże zapoznać się ze współczesną definicją prawdopodobieństwa. Wzorowano się tu na innych dyscypli­nach matematycznych, w których przyjmuje się określony system pewników bez dowodu i z których w drodze poprawnego rozumowania dedukcyjnego wyprowadza się i dowodzi nowych twierdzeń. Warto tu przypomnieć ze szkoły średniej geometrię euklidesową, która opiera się na pięciu pewnikach.

Podamy tu system pewników zaproponowanych przez wybitnego rosyjskiego matematyka N. Kołomogorowa (1903-1987), na których opiera się współczesny rachunek prawdopodobień­stwa.

Pewnik I. Każdemu zdarzeniu losowemu A odpowiada określona liczba P(A), zwana prawdopodobieństwem zdarzenia A, spełniająca nierówność: 0< P(A) < 1.

Pewnik II. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równa się jedności:

P(A) = 1.

Pewnik III. Prawdopodobieństwo sumy skończonej lub przelicza­nej ilości zdarzeń losowych parami wyłączających się równa się sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

P(A₁ + A₂ +...+ A_k) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A_k)

Warto tu zauważyć, że pewnik I jest zarazem definicją prawdopodobieństwa, która niczego nie zakłada o zdarzeniach ani o sposobie przyporządkowania tym zdarzeniom określonych prawdopodo­bieństw.

Stwierdza się jedynie, że każdemu zdarzeniu losowemu odpowiada pewna liczba P(A), spełniająca nierówność, którą nazywa się prawdopodobień­stwem zdarzenia A.

Takie ujęcie zagadnienia posiada cenne zalety, których jednak nie będziemy tu szerzej rozważać. Należy jednak pamiętać, że dla naszych celów bardzo ważne jest zrozumienie istoty klasycznej definicji prawdopodobieństwa i definicji statystycznej, z których będziemy jeszcze korzystali.