Постоянный электрический ток
Сила постоянного тока
I = q/t,
где q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.
Плотности тока
j = I/S,
где S – площадь поперечного сечения проводника.
Связь плотности тока со средней скоростью <υ> направленного движения заряженных частиц
j = qn<υ>,
где q – заряд частицы; n – концентрация заряженных частиц.
Закон Ома:
а) для участка цепи, не содержащего ЭДС, где φ1 – φ2 = U – разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи; R – сопротивление участка;
б) для участка цепи, содержащего ЭДС, где – ЭДС источника тока; R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);
в) для замкнутой (полной) цепи, где R – внешнее сопротивление цепи; Ri – внутреннее сопротивление цепи.
Законы Кирхгофа:
а) ∑ Ii = 0 – первый закон;
б) ∑ IiRi = ∑ – второй закон,
где ∑ Ii – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; ∑ IiRi – алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивление участков; ∑ i – алгебраическая сумма ЭДС.
Сопротивление R и проводимость G проводника
R = ρl/S, G=γS/l,
где ρ – удельное сопротивление; γ – удельная проводимость; l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.
Сопротивление системы проводников:
а) R = ∑ Ri при последовательном соединении;
б) 1/R = ∑(1/Ri) при параллельном соединении, где Ri – сопротивление i-го проводника.
Работа тока
A = IUt, A = I2Rt, A = U2t/R.
Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две – для участка, не содержащего ЭДС.
Мощность тока
P = IU, P = I2R, P=U2/R.
Закон Джоуля – Ленца
Q = I2Rt.
Закон Ома в дифференциальной форме
= γ ,
где γ – удельная проводимость; – напряженность электрического поля; – плотность тока.
П ример 1. Потенциометр сопротивлением R = 100 Ом подключен к батарее с ЭДС = 150 В и внутренним сопротивлением Ri = 50 Ом. Определить: 1) показание вольтметра между сопротивлением Rv = 500 Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; 2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.
Р е ш е н и е. 1. Показание вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 12), определим по формуле
U1 = I1R1,
где R1 – сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра; I1 – суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразветвленной части цепи).
Силу тока I1 найдем по закону Ома для полной цепи:
I1 = /(Re +Ri), (1)
где Re – сопротивление внешней цепи. Это сопротивление есть сумма двух сопротивлений:
Re = R/2 +R1. (2)
Сопротивление R1 найдем по формуле параллельного соединения проводников откуда
Подставив в (1) выражение Re по (2), найдем
В данном случае решение задачи в общем виде было бы громоздким. Поэтому удобно вычисление величин провести раздельно:
U1 = 1,03·45·5 В = 46,9 В.
2. Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I2 на половину сопротивления потенциометра:
U2 = I2 ·R/2, (3)
где I2 – сила тока в цепи при отключенном вольтметре. Ее определим по формуле
I2 = /(R + Ri).
Подставив выражение I2 в (3), найдем
U2 = / (R + Ri)·R/2.
Произведем вычисления:
П ример 2. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени Δt = 2 с по линейному закону от I0 = 0 до I = 6 А (рис 13). Определить теплоту Q1, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q2 – за вторую, а также найти отношение q1/q2.
Р е ш е н и е. Закон Джоуля – Ленца в виде Q = I2Rt справедлив для постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого интервала времени и записывается в виде
dQ = I2Rdt. (1)
Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В данном случае
I = kt, (2)
где k – коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения силы тока:
С учетом (2) формула (1) примет вид
dQ = k2Rt2dt. (3)
Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени Δt, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t1 до t2:
Произведем вычисления:
Q1 = 1/3 · 32 · 20(1 – 0) Дж = 60 Дж;
Q2 = 1/3 · 32 · 20(8 – 1) Дж = 420 Дж.
Следовательно,
Q2 / Q1 = 420 / 60 = 7,
т. е. за вторую секунду выделится теплоты в семь раз больше, чем за первую.
Пример 3. Пространство между пластинами плоского конденсатора имеет объем V = 375 см3 и заполнено водородом, который частично ионизирован. Площадь пластин конденсатора S = 250 см2. При каком напряжении U между пластинами конденсатора сила тока I, протекающего через конденсатор, достигнет значения 2мкА, если концентрация n ионов обоих знаков в газе равна 5,3 · 107 см–3. Принять подвижность ионов b+= 5,4 · 10 –4 м2 / (В · с), b-=7,4 · 10-4 м2/(В · с).
Р е ш е н и е. Напряжение U на пластинах конденсатора связано с напряженностью Е электрического поля между пластинами и расстоянием d между ними соотношением
U = Ed. (1)
Напряженность поля может быть найдена из выражения плотности тока
j = qn(b+ + b-)E,
где q – заряд иона.
Отсюда
Расстояние d между пластинами, входящее в формулу (1), найдем из соотношения
d = V/S.
Подставив выражения Е и d в (1), получим
(2)
Проверим, дает ли правая часть полученной расчетной формулы единицу напряжения:
Подставим в формулу (2) значения величин и произведем вычисления: