Задача 1. Оптимизация цены и размера партии товара
А. Аналитическое решение задачи.
1. Пусть заданы кривая спроса Cd = Cd(Q) и кривая удельных издержек Cе = Cе(Q). (Рис.1). Точки пересечения этих кривых соответствуют двум точкам безубыточности Q1б/у и Q2б/у. Для получения прибыли необходимо, чтобы объем производства удовлетворял неравенству Q1б/у < Q < Q2б/у .
Используя формулы (2) и (3) рассчитайте численные значения Q1б/у и Q2б/у . Объясните экономический смысл этих точек безубыточности.
2. Прибыль S(Q) для заданного размера партии Q и при постоянной цене определяется по формуле
S(Q) = [Cd(Q) – Cе(Q)]Q . (1)
Требуется найти такие значения цены Cd = Cm и количества изделий Q= Qm, которые приносят максимальную прибыль S=Sm.
Необходимое условие максимальной прибыли записывается в виде dS/dQ=0. Отсюда определяются значения Qm и Cm . Эти значения зависят от конкретного вида кривых спроса и издержек.
Рассмотрим частный случай, когда в диапазоне рассматриваемых цен кривую спроса можно аппроксимировать прямой линией
Cd = Cd1 – Cd2 Q , (2)
а кривая удельных издержек (себестоимости) описывается гиперболической функцией вида:
Cе = Cе1 + Cе2 / Q , (3)
где величины Cd1 и Cd2 - параметры аппроксимации; Cе1- доля затрат на изготовление единицы изделия, которая не зависит от объема производства, например, расход материала, комплектующих изделий и т.д.; Cе2 - постоянная часть расходов (например, за аренду помещения, освещение и т.д), приходящаяся на время производства изделий в количестве Q. Время производства и реализации считаем единичными.
При этих предположениях прибыль S за единичный интервал времени равняется
S = (Cd1 – Cе1 – Cd2Q)Q – Cе2 . (4)
Из необходимого условия максимума прибыли dS/dQ=0 получим, что оптимальное количество изделий равняется
Qm = 0,5(Cd1 – Cе1 ) / Cd2 , (5)
а оптимальная цена при этом получается из уравнения (2):
Cm = 0,5(Cd1 + Cе1 ) . (6)
Подставляя Q = Qm в (4), получим S = Sm . Это максимальная прибыль, если всю партию товара Qm продать по цене Cm за штуку.
Б. Численное решение задачи.
Для численного решения задачи определения оптимальной цены и партии изделий требуется построить график зависимости прибыли S от размера партии Q по формуле (1).
Оптимальные значения количества изделий Qm и цены Cm соответствуют точке максимума на графике прибыли S(Q).
Задача 2. Оптимальная стратегия продажи заданной партии товара
Рыночная практика показывает, что крупную партию товара обычно продают по частям, начиная с высокой цены и постепенно снижая цену по мере насыщения рынка и уменьшения спроса. Т.е. в отличие от первой задачи цена является величиной переменной.
В этой задаче считается заданным размер партии товара Qп = Qm, который необходимо продать так, чтобы получить максимальную прибыль. Функции спроса (2) и удельных издержек (3) остаются неизменными из задачи 1.
Вначале для простоты всю партию товара Qп разделим на две части Q1 и Q2 (рис.1):
Qп = Q1 + Q2 , (7)
которые продаются в два приема по ценам C1 и C2 . Требуется определить оптимальные размеры частей Q1 и Q2 и их цены C1 и C2 , обеспечивающие максимальный размер получаемой в результате продажи суммарной прибыли S. Задачу требуется решить аналитическим и численным методами.
Рис.1
А. Аналитическое решение задачи.
В данной задаче общая прибыль S складывается из прибылей S1 и S2 , полученных от продажи двух частей партии товара. При расчетах будем считать, что удельные затраты Ceп зависят только от размера партии товара Qп и не зависят от размера частей партии.
S = S1(Q1 , C1)+ S2 (Q2 , C2 ) =
= Q1 C1 + (Qп – Q1 ) C2 – Ceп Qп = . . (далее записать самостоятельно). (8)
Из необходимого условия максимума прибыли dS / dQ1=0, определите оптимальное значение части партии Q1m . Затем, по формулам (7) и (2) определите оптимальные значения Q2m , C1m и C2m .
Сравните полученное значение прибыли в задаче 2 с прибылью, рассчитанной в задаче 1.
Б. Численное решение задачи.
Для численного решения поставленной задачи требуется построить график зависимости прибыли S от размера части партии Q1 по формуле (8). Для этого необходимо заполнить табл.1, в которой следует изменять значение Q1 от 0 до Qп . Из графика и таблицы 1 определить Q1, Q2, C1 и C2 , обеспечивающие максимум прибыли S.
Т а б л и ц а 1
Qп = . . . ; Cеп = . . . ; C2 = . . .
Q1 |
0 |
|
|
|
|
Qп |
C1 |
|
|
|
|
|
|
Q2 = Qп – Q1 |
Qп |
|
|
|
|
0 |
Д = Q1 C1 + Q2 C2 |
|
|
|
|
|
|
S = Д – Cеп Qп |
|
|
|
|
|
|