- •Кинематика сплошной среды
- •Элементы теории деформаций
- •Динамические величины и элементы теории напряжений
- •Раздел 2. (4) Уравнения механики сплошных сред
- •§ 1. Уравнение неразрывности
- •§ 2. Уравнения движения и равновесия
- •§ 3. Уравнения состояния (математические модели)
- •Раздел 2. (4) Уравнения механики сплошных сред
- •§ 1. Уравнение неразрывности
- •§ 2. Уравнения движения и равновесия
- •§ 3. Уравнения состояния (математические модели)
- •§ 4. Уравнения состояния гидромеханики
- •§ 5. Основные уравнения теории фильтрации
- •§ 6. Мгновенные уравнения состояния и критерии прочности
- •§ 7. Временные уравнения состояния и критерии длительной прочности
- •§ 8. Общая система уравнений механики деформируемого твердого тела
- •Раздел 3. Основные задачи механики сплошных сред в бурении задачи гидромеханики в бурении
- •§ 1. Базовые задачи гидродинамики при промывке и цементировании скважин
- •§ 2. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале
- •§ 3. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в кольцевом канале
- •§ 4. Задачи фильтрации при строительстве скважин
- •§ 5. Общие задачи механики деформируемого твердого тела в бурении
§ 2. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале
3.2.1. При ламинарном течении ньютоновской жидкости, согласно соотношениям (3.1), сохраняется только одно из уравнений состояния (2.24), а именно
(3.6)
Из сравнения этого уравнения с решением (3.3) следует дифференциальное уравнение относительно скорости
решение которого при граничном условии v(h) = 0 имеет вид
(3.7)
где 2h - ширина щели.
В результате по формулам (3.5) легко определяются основные характеристики потока:
(3.8)
где b - длина поперечного сечения щели; Rеш = ρvср2h/μ – параметр Рейнольдса для плоской щели.
Пример: ρ = 1000 кг/м3
vср = 1м/с
2h = 0,01м
µ = 0,01Па·с
Rеш = рvср2h/μ=1000 ·1·0,01/0,01=1000;
λ= 0,048;
2. При ламинарном сечении неньютоновской жидкости Шведова –Бингама, используя соотношения (3.1) в формулах (2.26) и (2.27), получим
(3.9)
где выбран знак (–), так как . Поэтому система уравнений (2.24) упрощается до одного уравнения
(3.10)
где 2h0 – жесткое ядро потока (рис. 22).
Рис. 22. Характерный вид профиля скорости в щели при течении неньютоновской жидкости Шведова – Бингама.
Из сравнения соотношений (3.3) и (3.10), получим уравнение скорости
(3.11)
и формулу для вычисления ядра потока
(3.12)
Интегрируя уравнения (3.11) при условии v(h) = 0, найдем следующее распределение скорости:
(3.13)
Отсюда следует, что при h0 = h движение жидкости происходить не будет, так как v(x) = 0. Поэтому условием существования движения является h0 < h или, используя формулу (3.12),
Однако если учесть, что начало движения рассматриваемой жидкости обусловлено не динамическим напряжением сдвига τ0, а статическим τ00> τ0 , то условием страгивания покоящейся жидкости будет
По формулам (3.5) определяются основные характеристики потока, впервые полученные М. П. Воларовичем и А. М. Гуткиным:
(3.14)
где
Видно, что в данном случае кинематические характеристики потока Q, vcp и коэффициент сопротивления λ зависят от градиента давления нелинейно, что вызывает известные трудности при решении обратной задачи.
Если исходить из того, что практический интерес представляют случаи то, приняв получим
(3.15)
где - обобщенный параметр Рейнольдса; приведенная вязкость жидкости Шведова-Бингама;
- параметр Сен-Венана для плоской щели.
Пример:
при ρ = 1350 кг/м3
Па
Па·с
vср = 1м/с
h = 0,02м получим:
Па,
т.е. в этом случае на каждые 1000 метров гидравлические потери составляют 0,675 МПа
3.2.3. Для неньютоновской жидкости Освальда — Вейля, используя в последней системе уравнений (2.24) соотношения (3.1) и (3.9), получим
При сопоставлении этого уравнения состояния с решением (3.3) приходим к следующему дифференциальному уравнению относительно скорости:
(3.16)
Интегрируя это уравнение при граничном условии v(h) = 0, получим распределение скорости
(3.17)
где
В результате интегральные характеристики потока (3.5) будут
(3.18)
где - обобщенный параметр Рейнольдса и — приведенная вязкость жидкости Освальда-Вейля для плоской щели. При n =1 и k = μ формулы (3.17) — (3.18) совпадут с формулами (3.7) —(3.8).
3.2.4. При турбулентном режиме течения, когда параметры Rе, Re* или Rе' больше критических значений, решение уравнения движения записывается в виде [сравните с (3.3)]
(3.19)
Касательное напряжение в зависимости от типа жидкости связано со скоростью сдвига уравнениями вида (3.6), (3.10) или (3.16). Напряжение Рейнольдса в силу соотношений (2.20), (3.1) и (3.9) удовлетворяет уравнению Прандтля:
(3.20)
где принимается, что величина l линейно зависит от расстояния до стенки канала s = h - x, т. е.
s, (3.21)
где — константа, определяемая из опыта.
Напряжение имеет существенное значение лишь в непосредственной близости от стенок канала, т. е. в узкой области, состоящей из ламинарного подслоя и буферной зоны, где ламинарные и турбулентные законы течения сравнимы между собой.
В основной области течения (турбулентное ядро) можно пренебречь напряжением . Поэтому после подстановки (3.20) и (3.21) в (3.19) получим следующее исходное дифференциальное уравнение:
(3.22)
где - приведенное значение касательного напряжения; s1—внешняя граница буферной зоны.
Прандтль ввел в уравнение (3.22) упрощение (физически, вообще говоря, ничем не обоснованное), положив правую часть уравнения равной . Но доказывается, что это упрощение вносит в конечный результат весьма небольшую погрешность.
Если, кроме того, ввести обозначение для динамической скорости на стенке канала , то уравнение (3.22) примет вид
Интегрируя это уравнение при условии , получим следующий универсальный закон распределения скорости:
(3.23)
В области, близкой к стенке канала ( ), профиль скорости отклоняется от распределения (3.23). Однако, учитывая, что отношение , можно в гидродинамических расчетах не принимать во внимание профиль скорости в пристенной области.
Многочисленные экспериментальные исследования показали, что логарифмическое распределение (3.23) достаточно хорошо описывает профили скоростей при турбулентных течениях различных жидкостей в плоских и круглых каналах с гладкими и шероховатыми стенками вплоть до больших значений параметра Рейнольдса (за исключением, разумеется, узких пристенных областей). Различия могут составлять лишь входящие в (3.23) параметры.
Пример
Тогда для практически гладких и вполне шероховатых каналов формула (3.23) переписывается в виде
(3.24)
При s = h - получим максимальные значения скоростей
(3.25)
С учетом (3.25) формулы (3.24) можно записать так:
(3.26)
Отсюда путем интегрирования легко получить среднюю по сечению скорость потока
(3.27)
Найдем коэффициент сопротивления по формуле (3.8):
Если здесь воспользоваться формулами (3.27), (3.25) и преобразованием
то получим универсальный закон сопротивления:
для гладкого канала:
(3.28)
для вполне шероховатого канала
(3.29)
Из формул (3.28) и (3.29) следует вывод: для гладких стенок коэффициент сопротивления λ зависит только от параметров Рейнольдса, а для вполне шероховатых — от отношения s0/h.
При переходном режиме, т. е. когда выполняется условие , коэффициент сопротивления зависит от Rе и s0/h.
Способ его определения в этом случае, основанный на экспериментальных данных. В практических расчетах обычно в формулах (3.24) и (3.25) константу 8,5 заменяют на 9 и соответственно в формуле (3.29) — константу 2,12 на 2,3. Эти константы для каналов с естественной шероховатостью устанавливаются опытным путем.
Примечание. Все приведенные в этом параграфе формулы могут быть использованы и при расчете характеристик течения жидкостей по наклонной плоскости или в длинном лотке (желобе), у которого ширина b днища во много раз больше глубины потока h. Для этого необходимо принять и заменить 2b на b, где — угол наклона плоскости (лотка) к горизонту.
1-06=2011