5Комплексные Характеристики конечного отрезка однородной линии
5.1Общее решение комплексных телеграфных уравнений
Для определённости условимся в дальнейшем направлять положительные значения мощности, потребляемой отрезком линии, слева направо. При этом исследователю предоставлена возможность выбора ориентации координатной оси либо по потоку положительной мощности, либо против него, а начало отсчёта координат можно совместить, в принципе, с любым сечением отрезка линии. Однако, если ограничиться положительными значениями координаты сечения на интервале [0, l], то начало их отсчёта придётся совместить с соответствующим концом отрезка линии. Ради будущего удобства записи характеристик отрезка линии выберем координатную ось 0x (0 £ x £ l), направленную против положительного направления потока мощности (Рис. 8 и 9). При этом x = l относится к началу отрезка линии, а x = 0 – к его концу.
Рис. 8
Рис. 9
,
так и в комплексных погонных характеристиках линии
, (0)
. (0)
Уравнения Гельмгольца для U и для I, в чём нетрудно убедиться, инвариантны относительно преобразований координат x = l – x¢.
Их общие решения можно записать в виде суммы экспонент:
,
.
Если перейти к выражениям мгновенных
значений составляющих этих величин в
произвольном сечении, то нетрудно
обнаружить, что их первые слагаемые,
пропорциональные
,
являются комплексами действующих
значений волн напряжения и тока,
перемещающихся вдоль отрезка линии от
его начала к концу (по потоку положительной
мощности). Вторые же слагаемые,
пропорциональные
,
представляют комплексы действующих
значений волн напряжения и тока,
перемещающихся в обратном направлении.
Таким образом, распределения напряжения
и тока вдоль конечного отрезка есть
результат наложения (интерференции)
прямо- и обратнобегущих (прямых и
обратных) соответствующих волн
, (0)
. (0)
Все эти волны движутся с одинаковыми значениями фазовых скоростей, причём каждая из них одинаково затухает в направлении своего распространения. Поэтому общие решения уравнений Гельмгольца для U и для I можно переписать так:
, (0)
, (0)
где постоянные интегрирования Uп(0), Uо(0) и Iп(0), Iо(0) по сути являются комплексами действующих значений компонентов волн напряжения и тока в конце отрезка линии (x = 0). Представление напряжения и тока в виде суммы прямых и обратных волн означает, что условно положительные направления как самих величин, так и их составляющих одинаковы.
В дальнейшем выражения вида (24) - (25) мы будем называть, для определённости, комплексными характеристиками участка [0, x] конечного отрезка линии (0 £ x £ l) в экспоненциальных функциях.
Отметим, что входящие в (24) - (25) постоянные интегрирования не независимы, поскольку функции U(x) и I(x) связаны между собой комплексными погонными характеристиками линии (20) - (21). Поэтому в действительности число независимых постоянных интегрирования в последних выражениях с четырёх сокращается до двух:
è 
,
либо
и 
.
Запишем общие решения уравнений Гельмгольца для U(x) и I(x), в которых постоянными интегрирования служат, к примеру, Uп(0), Uо(0)
, (0)
; (0)
и Iп(0), Iо(0):
, (0)
. (0)
Каждую пару постоянных интегрирования легко выразить через любые два из четырёх граничных значений U1, I1, U2, I2 (Рис. 9). Так, например, при x = 0 из системы (26) - (27)
,
получаем
и 
. (0)
Аналогичным образом из системы (28) - (29) находим дуальные соотношения
и 
. (0)
Тогда комплексы действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении отрезка линии, отстоящем на расстоянии x от его конца (0 £ x £ l) определяются такими дуальными выражениями:
(0)
(0)
Конец отрезка однородной линии является, по существу, локальной неоднородностью, на которой происходит частичное или полное отражение прямых волн напряжения и тока. С этой точки зрения составляющим напряжения и тока (22), (23) можно придать и иной смысл, рассматривая первые из них как падающие волны [uп(x, t), iп(x, t)], а вторые – как волны, отражённые от конца отрезка [uо(x, t), iо(x, t)]. Вместе с тем следует отметить, что эти понятия для установившегося, в частности, гармонического процесса имеют, по существу, расчётный характер.
Коэффициентами отражения по напряжению
и по току
в
конце отрезка однородной линии (x
= 0) называют соответственно
отношения комплексов действующих
значений напряжений и токов отражённой
и падающей волн в этом сечении:
,
.
где для определённости, значения их модулей и аргументов ограничим неравенствами:
;
.
Теперь комплексные характеристики участка конечного отрезка линии в экспоненциальных функциях преобразуются к такому виду:
,
.
Принимая во внимание соотношения (30) - (31), выразим коэффициенты отражения и через комплексы действующих значений напряжения и тока в конце отрезка линии:
, 
. (0)
Несложно показать, что
(0)
Связь между U2 и I2 определяется граничными условиями в конце отрезка линии. Теперь характеристики участка конечного отрезка линии в экспоненциальных функциях можно записать либо так:
, (0)
, (0)
либо, принимая во внимание линейную зависимость Uп(0) и Iп(0), в одном из двух равносильных представлений:
, 
;
или
,
.
Выражения комплексных характеристик участка [0, x] в экспонентах позволяют не только количественно, но и качественно определять распределение действующих значений напряжений и токов и их начальных фаз вдоль конечного отрезка линии (0 £ x £ l).
Общие решения уравнений Гельмгольца можно представить и в виде линейной комбинации гиперболических функций shgx и chgx. Следуя описанной методике или непосредственно из выражений (32) - (33), нетрудно выразить в них постоянные интегрирования через идентификаторы напряжения U2 и тока I2 в конце отрезка. В результате получим пару взаимодуальных комплексных характеристик – уравнений участка конечного отрезка линии в гиперболических функциях, которые за счёт безусловной потери наглядности обеспечивают бóльшую компактность записи:
, (0)
. (0)
Комплексные характеристики участка конечного отрезка однородной линии в экспоненциальных и гиперболических функциях взаимно дополняют друг друга; выбор тех или иных диктуется условиями задачи.