3.5). Решить уравнение

. (3.16)

Решение. Разделяя переменные в линейном однородном уравнении , соответствующем данному уравнению (3.16), получим: , , . Общее решение уравнения (3.16) будем искать в виде

, (3.17)

где — неизвестная функция, для определения которой подставим в виде (3.17) в уравнение (3.16): , т. е. и . Подставив найденную таким образом функцию в (3.17), получим общее решение уравнения (3.16): .

Уравнение , где и — заданные непрерывные функции, а показатель степени отличен от нуля (при получается рассмотренное выше линейное неоднородное уравнение) и от единицы (при можно привести подобные слагаемые и получить линейное однородное уравнение), называется уравнением Бернулли. Оно решается теми же способами, что и линейное неоднородное уравнение.

3.6). Решить уравнение

. (3.18)

Решение. Разделив обе части этого уравнения на , убеждаемся, что это — уравнение Бернулли: . Здесь . Воспользуемся подстановкой (3.13):

. (3.19)

Вспомогательную функцию находим из условия . Разделив в этом уравнении переменные, получим , , откуда имеем частное решение , подставляя которое в (3.19), получаем уравнение для нахождения функции : . Проинтегрировав последнее равенство, найдем , или . Следовательно, общее решение уравнения (3.18) имеет вид .

Задания для самостоятельного решения.

3.15. . 3.16. . 3.17. .

3.18. . 3.19. . 3.20. .

3.21. . 3.22. . 3.23. .

3.24. . 3.25. . .

Ответы.

3.15. . 3.16. . 3.17. . 3.18. .

3.19. . 3.20. . 3.21. . 3.22. .

3.23. . 3.24. . 3.25. .

Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение (3.3), называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является дифференциалом первого порядка некоторой функции двух переменных , т. е. . Для того, чтобы уравнение (3.3) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение условия для коэффициентов и :

, (3.20)

тогда уравнение (3.3) принимает вид , и его общий интеграл легко записывается в виде: , где — произвольная постоянная.

3.7). Решить уравнение .

Решение. Условие (3.20) выполнено, т.к. и . Значит, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Следовательно, надо найти функцию такую, что ,т.е.

(3.21)

Проинтегрируем первое уравнение системы (3.21): . Здесь мы учли, что при интегрировании по переменная рассматривается как константа. По этой же причине постоянная интегрирования записана как некая произвольная функция . Определим эту функцию, воспользовавшись вторым уравнением системы (3.21):

,

откуда . Выберем в качестве решения последнего уравнения , тогда , и общий интеграл исходного уравнения имеет вид .

Задания для самостоятельного решения.

3.26. .

3.27. .

3.28. . 3.29. .

3.30. . 3.31. .

Ответы

3.26. . 3.27. . 3.28. .

3.29. . 3.30. . 3.31.

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка

Дифференциальное уравнение го порядка имеет следующий общий вид

.

Его общее решение содержит две произвольные постоянные и .

Рассмотрим несколько типов уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка.

I. Простейший частный случай уравнения 2-го порядка записывается так: . Искомая функция здесь находится последовательным двукратным интегрированием.

I. Простейший частный случай уравнения 2-го порядка записывается так: . Искомая функция здесь находится последовательным двукратным интегрированием.

3.8). . Запишем это уравнение в виде . Умножая обе его части на , имеем . И после интегрирования , получаем , где - произвольная постоянная. После умножения обеих частей последнего равенства на и интегрирования получаем общее решения данного уравнения . Здесь - вторая произвольная постоянная.

II. Уравнение не содержит искомой функции: . Порядок такого уравнения может быть понижен заменой, введением новой искомой функции .

3.9). Найти общее решение уравнения: .

Решение. Обозначим . Тогда , и данное уравнение теперь выглядит так:

,

т.е. благодаря используемой здесь замене удалось исходное уравнение второго порядка преобразовать к дифференциальному уравнению первого порядка, добиться понижения порядка исходного уравнения. Разделяя переменные и интегрируя, из последнего равенства получаем: , т.е. , а, значит, . Разделение переменных и интегрирование последнего равенства дает общее решение исходного уравнения: .

III. Уравнение не содержит независимой переменной : . Рассматривая здесь как независимую переменную, можем на единицу понизить порядок уравнения введением в нем новой искомой функции . При этом .

3.10). Решить уравнение: .

Решение. Пользуясь только что указанной подстановкой, понизим порядок данного уравнения: , или . Отсюда получаем два уравнения:

, .

Первое из них дает , т.е. . Второе уравнение решается разделением переменных, откуда . Но, так как , то, разделяя переменные, получаем , т.е. , или . Отметим, что найденное ранее решение содержится в предыдущей функции при .

Задания для самостоятельного решения.

3.32. . 3.33. . 3.34. 3.35. .

3.36. . 3.37. . 3.38. .

3.39. . 3.40. . 3.41. . 3.42.

3.43. . 3.44.

.

Ответы

3.32. . 3.33. . 3.34. .

3.35. . 3.36. , . 3.37. .

3.38. . 3.39. .

3.40. . 3.41. . 3.42. .

3.43. . 3.44. .

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейным дифференциальным уравнением го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и всех ее производных, оно имеет следующий общий вид:

(3.22)

Если заданные коэффициенты и правая часть - функции, непрерывные на некотором интервале , то уравнение (3.22) имеет единственное решение , определенное на интервале и удовлетворяющее начальным условиям

, (3.23)

где , а - любые действительные числа.

Уравнение (3.22), в котором тождественно на , называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ), а уравнение

(3.24)

- линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ).

Общее решение уравнения (3.24) имеет вид

, (3.25)

где - произвольные постоянные, а - линейно независимых частных решений уравнения (3.24), составляющих так называемую фундаментальную систему решений ЛОДУ.

Критерием (т.е. необходимым и достаточным условием) линейной независимости частных решений уравнения (3.24) является условие не обращения в ноль на интервале определителя Вронского для этих функций:

(3.26)

Общее решение ЛНДУ (3.22) имеет следующий вид:

. (3.27)

Здесь - общее решение ЛОДУ (3.24), соответствующего данному ЛНДУ (3.22), а - некоторое частное решение ЛНДУ (3.22). Представление (3.27) вместе с формулой (3.25) описывает структуру общего решения ЛНДУ.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами выглядит так:

. (3.28)

Здесь коэффициенты и - некоторые действительные числа.

Определим значение параметра так, чтобы функция удовлетворяла равенству (3.28), т.е. являлась решением этого уравнения. Для этого подставим эту функцию и ее производные , в равенство (3.28) . Получим , откуда выводим равенство

, (3.29)

называемое характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения (3.28). Уравнение (3.29) является квадратным уравнением и имеет 2 корня (действительных различных, действительных равных, или 2 комплексно - сопряженных). Каждому корню этого уравнения соответствует отдельное частное решение , В совокупности этот набор решений составляет фундаментальную систему решений уравнения (3.28), с помощью которой по формуле (3.25) можно записать общее решение этого уравнения.

Таким образом, алгеброй определяется характер решений линейных дифференциальных уравнений, а, значит, и те физические, химические, и.т.д. процессы, которые ими описываются.

Возможные при решении уравнения (3.28) случаи представлены в следующей таблице.

Таблица 2.

№	Корни характеристического уравнения	Фундаментальная система решений диффер. уравнения (3.29)	Вид общего решения уравнения
1	и - действительные различные числа	,
2	- двукратный корень	,
3	- комплексно сопряженные корни	,

3.11). Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному, имеет вид . Корни этого уравнения действительны и различны. Им отвечают два частных решения , с помощью которых записываем общее решение данного уравнения .

3.12). Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение для данного дифференциального имеет вид: , или . Т.е. его корни . В соответствии со случаем 2 Таблицы 2 частными решениями данного дифференциального уравнения, составляющими его фундаментальную систему решений, являются функции , а его общее решение имеет вид .

3.13). Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение для данного дифференциального выглядит так: . Оно имеет пару комплексных сопряженных корней . Здесь . Соответствующие частные решения составляют фундаментальную систему решений данного дифференциального уравнения, а его общее решение записывается так: .

Задания для самостоятельного решения

3.45. . 3.46. . 3.47. . 3.48. .

3.49. . 3.50. . 3.51. . 3.52. .

Ответы

3.45. .3.46. . 3.47. . 3.48. .

3.49. . 3.50. . . 3.51. . 3.52. .

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

В том случае, когда в ЛНДУ второго порядка, т.е. в уравнении (22) при , коэффициенты в левой его части являются постоянными, оно имеет вид

(3.30)

Следуя формуле (3.27), сначала (с помощью характеристического уравнения) необходимо решить соответствующее ему ЛОДУ: . Второе слагаемое в формуле (27), некоторое частное решение уравнения (3.30), может быть записано в виде функции того же типа, что и правая часть - , если она имеет специальный вид, приведенный в следующей таблице.

Таблица 3.

№	- правая часть ЛНДУ (30)	Корни характеристического уравнения (3.29)	Вид частного решения
I		1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения
		2. Число 0 -корень характеристического уравнения кратности
II		1. Число не является корнем характеристического уравнения
		2.Число -корень характеристического уравнения кратности
III		1. Числа не являются корнями характеристического уравнения	,
		2. Числа являются корнями характеристического уравнения	,
IV		1. Числа не являются корнями	,
		2. Числа являются корнями характеристического уравнения кратности	,

Указанные в этой таблице , , , , - многочлены с неопределенными коэффициентами.