Рівняння неперервності деформацій.
Геометричні співвідношення Коші (3.10) пов’язують між собою шість складових деформації εx, εy, εz, γxz, γyx, γzy та три складових переміщення u, v, w. Якщо задані три складові переміщення, то їм відповідає єдина система шести складових деформацій.
Якщо задані шість складових деформацій, то для визначення трьох складових переміщення потрібно про інтегрувати шість диференціальних рівнянь (3.10) в частних похідних. При довільному виборі складових деформацій шість рівнянь з трьома незалежними не завжди можуть бути вирішені однозначно. Тому між шістьома складовими деформації повинні існувати певні залежності. Щоб отримати ці залежності, виключимо складові переміщення з рівнянь (3.10). Продиференцюємо перш рівняння (3.10) двічі по y, а друге по х:
Складемо ліві та праві частини отриманих рівнянь:
(3.15)
Вираз в дужках, відповідно до (3.10), визначає кутову деформацію γyx. З урахуванням цього вираз (3.15) набуде вигляду:
.
(3.16)
За аналогією встановимо залежності між двома деформаціями в двох інших координатних площинах:
(3.17)
Рівняння (3.16), (3.17) показують, що якщо задані дві лінійні деформації у взаємно перпендикулярних напрямках, то кутову деформацію в площині цих лінійних деформацій неможливо задати довільно.
Трьох рівнянь (3.16), (3.17) недостатньо для забезпечення однозначності переміщень, оскільки вони отримані диференціюванням. При диференціюванні порядок диференціального рівняння підвищується і можлива поява нових рішень, які не задовольняють початковому рівнянню. Щоб запобігти отриманню неприйнятних рішень, потрібно мати додаткові умови.
Продиференцюємо три останні рівняння (3.10) наступним чином:
Складемо перші дві строки та віднімемо третю:
Продиференцюємо отримане рівняння ще раз по x та, враховуючи, що:
отримаємо:
(3.18)
Аналогічно можна отримати ще два рівняння:
(3.19)
Рівняння (3.18), (3.19) свідчать про те, що якщо задані три кутові деформації в трьох взаємно перпендикулярних площинах, то лінійні деформації не можуть бути задані довільно.
Отже, отримана наступна система рівнянь, що носять назву рівнянь неперервності деформацій Сен-Венана:
(3.20)
Необхідність існування отриманих залежностей можна обґрунтувати і геометричним шляхом. Уявимо тіло розрізане на нескінченно малі паралелепіпеди. Якщо кожен з цих паралелепіпедів отримає довільні деформації, то з окремих деформованих паралелепіпедів неможливо буде знову скласти неперервне тверде тіло (в частині точок після деформування виникнуть нескінченно малі розриви). Рівняння (3.20) встановлює такі залежності між складовими деформації, що тіло і після деформування залишаться суцільним.