3. Розв”язати це ж питання для чотирьох точок площини.

№ 36. Порахувати визначник методом рекурентних співвідношень:

№ 37. Порахувати визначник методом рекурентних співвідношень:

№ 38. Порахувати визначник методом представлення його у вигляді суми:

№ 39. Порахувати визначник

№ 40. Порахувати визначник

№ 41. Порахувати визначник

№ 42. Порахувати визначник

№ 43. Порахувати визначник

№ 44. Порахувати визначник

№ 45. Порахувати визначник

№ 46. Користуючись теоремою Лапласа, порахувати визначник, попередньо перетворивши його:

№ 47. Знайти обернену матрицю для:

№ 48. Знайти обернену матрицю для:

Додаткові завдання по модулю № 2

№ 1. Чи є лінійним простором:

1) пуста множина;

2) множина, що складається з одного нульового елемента?

№ 2. Знайти розмірність і базис суми і перетину лінійних підпросторів простору багаточленів степені не вище 3, натягнутих на системи багаточленів

1 + 2t + t³, 1 +t + t², t – t² + t³ і 1 + t², 1 + 3t + t³, 3t - t² + t³.

№ 3. Довести, що множина багаточленів степені не вище n з комплексними коефіцієнтами можна розглядати і як комплексний лінійний простір, і як дійсний лінійний простір. В обох випадках знайти:

1. базис і розмірність простору ;

2. координатний стовпчик багаточлена 1 – 2i +

+ (3 + i) t –3t² в знайденому базисі (при n = 2).

№ 4. Нехай х – довільний вектор, а, n - фіксовані ненульові вектори геометричного векторного простору (двовимірного або тривимірного). Перевірити лінійність перетворення , заданого наступною формулою, і вияснити його геометричний смисл, якщо:

1) , 2) ,

3)

№ 5. Перевірити лінійність і вияснити геометричний смисл перетворення  тривимірного геометричного векторного простору, заданого формулою (a, u, v – фіксовані вектори):

1) ;

2) .

№ 6. В лінійному просторі дійсних багаточленів p(x, y) від двох змінних x, y перетворення  визначено формулою (p(x, y)) = p(x + a, y + b) (a, b - фіксовані числа). Показати, що  визначає лінійне перетворення простору багаточленів не вище другої степені, і обчислити його матрицю в базисі 1, x, y, x², xy, y² .

№ 42. Нехай D - диференціювання в просторі багаточленів степені не вище m. Обрахувати матрицю перетворення D, якщо базис складається з багаточленів :

1. 1 + t, t + 2t², 3t² – 1 (m = 2);

2. t³ + 1, 1 – t, 1 – t + t², 1 – t + t² – t³ (m = 3).

№ 7. Нехай в лінійному просторі задані дві операції скалярного множення (x,y)₁ та (x,y)₂. Показати, що для довільних чисел ≥0, ≥0, одночасно не рівних нулю, операцією скалярного множення буде також і

(x,y)= (x,y)₁ +  (x,y)_2.

№ 8. Чи в будь-якому скінченновимірному лінійному просторі можна ввести операцію скалярного множення ? Відповідь аргументувати

№ 9. Які із функцій в комплексному лінійному просторі C_{m × n} матриць розмірів m×n :

1) , 2)

3)

можуть слугувати унітарним скалярним добутком?

№ 10. Нехай t₁, ..., t_m - попарно різні дійсні числа. Довести, що в лінійному просторі багаточленів степені не вище n (n < m) з дійсними коефіцієнтами скалярний добуток можна задати формулою

Чи є ця функція евклідовим скалярним добутком, якщо m≤ n ?

№ 11. Вектори x і y евклідового або унітарного простору задані в базисі e₁ ,..., e_n координатними стовпчиками  і  відповідно, і відома матриця Грама Г_f базису f₁,…, f_n. Обрахувати матрицю Грама Г_e базису e₁,…, e_n і скалярний добуток векторів x і y, якщо :

1. f₁=e₁ – e₂ , f₂=e₁ – 2e₂

2. f₁=e₁ – e₂ , f₂=e₁ + e₂

№ 12. Довести нерівність:

1) ,

2) ,

де a₁ ,…, a_n , b₁,…, b_n - довільні дійсні або комплексні числа. В яких випадках в цих нерівностях досягається знак рівності ?

№ 13. Застосувати процес ортогоналізації і нормування до лінійно незалежної системи векторів дійсного арифметичного простору із стандартним скалярним добутком :

1. (1, 2, 2)^T , (1, 1, 0)^T , (0, 1, -4)^T

2. (2, 1, -2)^T , (4, 1, 0)^T , (0, 1, 0)^T

№ 14. В ортонормованому базисі чотирьохвимірного евклідового простору пара векторів заданакоординатними стовпчиками. Доповнити цю систему векторів до ортогонального базису .

1. (1, 1, 1, 2)^T , (1, 0, 1, -1)^T

2. (1, -1, 2, 0)^T , (-1, 1, 1, 3)^T

№ 15. Перевірити, що тригонометрична система функцій 1, cos t, sin t, …, cos nt, sin nt ортогональна відносно скалярного добутку.

Нормувати цю систему.

№ 16. Нехай А – матриця лінійного перетворення евклідового простору в деякому базисі, Г – матриця Грама цього базису. Знайти матрицю А* спряженого перетворення в тому ж базисі, якщо:

1) ;

2) .

№ 17. Перетворення евклідового простору багаточленів степені не вище 2 із скалірним добутком ставить у відповідність багаточлену його похідну. Знайти матрицю спряженого перетворення:

1. в базисі 1, t, t² ;

2. в базисі 1, t, 3t² – 1.

№ 18. Чи може для лінійної функції f, заданої на L_n, при всіх x  L_n виконуватись:

1) нерівність f (x) > 0; 2) нерівність f (x)  0;

3) рівність f (x) = ?

№ 19. Функція tr Х співставляє кожній квадратній матриці Х порядку n її слід. Перевірити, що ця функція є лінійною і знайти її координатну стрічку (координатну матрицю) в стандартному базисі простору матриць.

№ 20. Знайти кут між діагоналлю і ребром п-мірного куба.

№ 21. Знайти відношення довжини ортогональної проекції довільного ребра п–мірного куба на його діагональ до довжини діагоналі.